习题3.3 2.考虑方程组 dt 其中 f(e) 2t +1 sin2 (t) 是对应的齐次方程组 dx A(t) 的基解矩阵 (2)试求(1)的满足初值条 (1)易 = A()(t) e(sint +cos t) 重(t)是对应的齐次方程组的解矩阵.又由dt(t)=e2≠0知更(t)是对应的齐次方程组的 基解矩阵. (2)容易求出 e cost -sint eT cost esinT cos t 重(t)重()f(r)= et cos t-sint1「10 -e cost-2 sin t Φ(t)-(0)x(0) e' sint costo1」2 ef sint+2 cost 由常数变易公式得原非齐次方程组的解为 x(1)=()中-1(0)x(0)+/()中-(r)f(T)dr Ce-1)sint+2 cost 3.设nxn矩阵函数A()在@,月上连续,n维向量函数f(t,x)在区域a≤t≤B,‖x‖<∞上连续 证明初值问题 A(tx+f(t, x), x(to) 等价于求解积分方程 ()=x(1)x-(toxo+/x()x-(r)f(r,x()1 习 题 3.3 2. 考虑方程组 dx dt = A(t)x + f(t), (1) 其中 A(t) =   cos2 t 1 2 sin 2t − 1 1 2 sin 2t + 1 sin2 t   , f(t) =   cos t sin t   . (1) 试验证 Φ(t) =   e t cos t − sin t e t sin t cos t   是对应的齐次方程组 dx dt = A(t)x 的基解矩阵. (2) 试求 (1) 的满足初值条件 x(0) =   −1 2   的解. 解: (1) 易见 dΦ(t) dt =   e t (cos t − sin t) − cos t e t (sin t + cos t) − sin t   = A(t)Φ(t). 故 Φ(t) 是对应的齐次方程组的解矩阵. 又由 det Φ(t) = e t 6= 0 知 Φ(t) 是对应的齐次方程组的 基解矩阵. (2) 容易求出 Φ(t)Φ−1 (τ )f(τ ) =   e t cos t − sin t e t sin t cos t     e −τ cos τ e−τ sin τ − sin τ cos τ     cos τ sin τ   = e t−τ   cos t sin t   , Φ(t)Φ−1 (0)x(0) =   e t cos t − sin t e t sin t cos t     1 0 0 1     −1 2   =   −e t cos t − 2 sin t −e t sin t + 2 cos t   , 由常数变易公式得原非齐次方程组的解为 x(t) = Φ(t)Φ−1 (0)x(0) + Z t 0 Φ(t)Φ−1 (τ )f(τ ) dτ =   (−e t − 1) cos t − 2 sin t (−e t − 1) sin t + 2 cos t   . 3. 设 n × n 矩阵函数 A(t) 在 [α, β] 上连续, n 维向量函数 f(t, x) 在区域 α ≤ t ≤ β, kxk < ∞ 上连续. 证明初值问题 dx dt = A(t)x + f(t, x), x(t0) = x0 等价于求解积分方程 x(t) = X(t)X −1 (t0)x0 + Z t t0 X(t)X −1 (τ )f(τ, x(τ )) dτ