82r函数的基本性质 性质1r(1)=1 直接在r函数的定义中代入z=1即可得到这个结果 性质2r(z+1)=zr(2) 证根据r函数的定义 T(2+1)=ett=dt =2/e-t2-dt=zr(2).口 对于这个结果可以从两个角度来理解 一是尽管在证明过程中用到了条件Rez>0.但由于r(z+1)和zI(z)都在全平面解 析(z=0,-1,-2,…除外),因此,根据解析延拓原理,可以断定,这个递推关糸在 全平面均成立 另一方面,也可以直接通过递推关糸来完成『函数的解析延拓.这时,可将递推关急 改写成 r(x)=-r(z+1) 上式左端的函数在半平面Rez>0上解析,右端的函数在半平面Rez>-1上解析 两者在公共区域Rez>0上相等;由此可见,r(z+1)/z就是右端的I(z)在区域 ez>-1上的解析延拓.而且,如果把延拓后得到的结果仍记为r(z),这就是说, 可以把 看成是r()在区域Rez>1上的定义,而z=0点是r函数的一阶极点,resr(0)=1 ·重复上述步骤,还可以将『函数延拓到区城Rez>-2 r(2) 2(2+1) r(2+2),2≠0,-1 z=-1也是『函数的一阶极点,resr(-1)=-1 如此继续,就可以将『函数解析延拓到全平面,而z=0,-1,一2,…都是『函数的一 阶极点§8.2 Γ ✄☎➇✁✂✄☎ ✆ 4 ✝ §8.2 Γ ☞✌✍✆✝✞✟ ✠✡ 1 Γ (1) = 1 ✳ îï❉ Γ ✓✔✕✙✚ ✬❥☛ z = 1 ➚❢➀➍✜✢➩õ✳ ✠✡ 2 Γ (z + 1) = zΓ (z) ✳ ☞ ✌✍ Γ ✓✔✕✙✚ Γ (z + 1) = Z ∞ 0 e −t t zdt = −e −t t z    ∞ 0 + Z ∞ 0 e −t ztz−1 dt = z Z ∞ 0 e −t t z−1 dt = zΓ (z). ✎Ï✏✑✒✓ë ✔✕✖✑ ✗✘✙✚Û ✳ • é×✛ ✜Ø✢ ✣✤✥ ✦❰ã à✧★ Re z > 0 ✳✩ ✪Ï Γ (z + 1) ✫ zΓ (z) ✬ ØÙÚ ➘Û Ü (z = 0, −1, −2, · · · ✭✮) ✪ÝÞ✪✯✰ÛÜáâ✱✚✪ë ✔✲✃✪✏✑✳✴ ✵✶Ø ÙÚ ➘✷✸✹✳ • ✺ éæ ➘✪✻ë ✔✼✽✾✤✳✴ ✵✶✙ ✿✸ Γ ➮➱➬ÛÜáâ✳✏❀✪ëè✳✴ ✵✶ ❁ ❂✸ Γ (z) = 1 z Γ (z + 1). ➹❃❄❅➬ ➮➱Ø❆Ú ➘ Re z > 0 ➹ÛÜ✪❇❅➬ ➮➱Ø❆Ú ➘ Re z > −1 ➹ÛÜ❈ ✖❉Ø❊❋ ●❍ Re z > 0 ➹■❏❈✪Þë❑✪ Γ (z + 1) /z ▲ ×❇❅➬ Γ (z) Ø ●❍ Re z > −1 ➹➬ÛÜáâ✳▼◆✪❖✓Páâ◗❘ã➬✒✓❙❚ß Γ (z) ✪✏ ▲ ×❯✪ ë ✔P Γ (z) = 1 z Γ (z + 1), z 6= 0 ❱✸× Γ (z) Ø ●❍ Re z > 1 ➹➬✃❐✪ ▼ z = 0 ❲ × Γ ➮➱➬é❳❨❲ ✪ res Γ (0) = 1 ✳ • ❩❬➹❭ ❪❫✪❴ë ✔è Γ ➮➱áâã ●❍ Re z > −2 ✪ Γ (z) = 1 z(z + 1)Γ (z + 2), z 6= 0, −1. z = −1 ✻× Γ ➮➱➬é❳❨❲ ✪ res Γ (−1) = −1 ✳ • ❖Þ❵❛✪ ▲ë ✔è Γ ➮➱ÛÜáâãÙÚ ➘✪ ▼ z = 0, −1, −2, · · · ✬ × Γ ➮➱➬é ❳❨❲ ✪ res Γ (−n) = (−1)n n! .