推论1对于正整数n, 正是因为这个原因,函数又称为阶乘函数 性质3互余宗量定理 r(z)r(1-z) 这个公式的证明见后面的第8.4节 推论2r(1/2) 只要在上面的性质3中代入z=1/2,并且注意r(1/2)>0因为被积函数值恒为正)即可得到 此结果 推论3r函数在全平面无零点 证因为π/sinπ2≠0,所以r(z)r(1-2)≠0,这样,如果在z=20点有r(20)=0,则 必有r(1-20)=∞,这只能发生在1-20=-n(亦即20=n+1),n=0,1,2,……时.但此时 r(x0)=r(n+1)=n!,与所设矛盾.因此r函数在全平面无零点,口 图83中给出了r(x)(x为实数)的图形.它从实数范围直观地表现出这个推论以及r函数的 奇点分布 图8.3自变量取实数时的r函数值 性质4倍乘公式 r(2)=2 2(+) 这个公式的证明也见8.4节￾✁✂ Γ ✄ ☎ ✆ 5 ✝ ❜❝ 1 rs✈✇✔ n ✪ Γ (n) = (n − 1)!. ✈ ✛ ❃✦✜✢❞❃✪ Γ ✓✔❋✥✦❡❢✓✔✳ ✠✡ 3 ❣❤✐✮ ✙✱ Γ (z) Γ (1 − z) = π sin πz . ✜✢❥ ➼✕❤ ✐❶➺❝ ✕ ✧ 8.4 ❦✳ ❜❝ 2 Γ (1/2) = √ π ✳ ♠❑ ❉ ②❝✕➆❧ 3 ✬❥☛ z = 1/2 ✪❫❴♠✉ Γ (1/2) >0 (❃✦❬✣✓✔♥♦✦✈ ) ➚❢➀➍ ⑥ ➩õ✳ ❜❝ 3 Γ ✓✔❉❛❜❝●♣ ⑧✳ ☞ ❃✦ π/sin πz 6= 0 ✪■❏ Γ (z) Γ (1 − z) 6= 0 ✳ ✜❹✪➥ õ ❉ z = z0 ⑧ ⑩ Γ (z0) = 0 ✪q r⑩ Γ (1 − z0) = ∞ ✳ ✜♠➨➞s❉ 1 − z0 = −n (t➚ z0 = n + 1) ✪ n = 0, 1, 2, · · · ❩✳ù⑥❩ Γ (z0) = Γ (n + 1) = n! ✪✉■✈✇①✳ ❃ ⑥ Γ ✓✔❉❛❜❝●♣ ⑧✳ ❷ 8.3 ✬② ➝③ Γ(x)(x ✦ ↔✔) ✕❷④✳ ❆➜ ↔✔⑤ ➢î⑥⑦❦⑧ ➝ ✜✢⑨❚❏⑩ Γ ✓✔✕ ❶ ⑧ ✤❷ ✳ ❸ 8.3 ❸ ❹❺❻❼❽❾❿ Γ ➀ ❽➁ ✠✡ 4 ➂ ❢❥➼ Γ (2z) = 22z−1π −1/2Γ (z) Γ  z + 1 2  . ✜✢❥ ➼✕❤ ✐➅ ❶ 8.4 ❦✳