方程组,矩阵辅导 1矩阵的相抵或等价)标准形 定义设Amm经过初等变换可化为B,就称A相抵于B(A等价于B),记作A≡B 相抵关系≡是一个等价关系。A≡B,即存在m阶初等矩阵PL,P2…,P5和n阶初等矩阵 Q1,Q2,…Q,使得 Ps…P2P1AQ1Q2…Qh=B A≡B的充要条件是存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ=B(或秩(A)=秩(B) 定理若秩(Amx)=r,则存在可逆矩阵P和Q,使得 PAO E O 0 O 其中E为r阶单位矩阵,O1是rx(n-)零矩阵,O2是(mr)x零矩阵,O是(mr)xn-n)零矩阵 称矩阵U为A的相抵(或等价)标准形。所有秩为r的m矩阵都相抵于U 定理设A为n阶矩阵,则下列命题等价 (1)A可逆(称A为非奇异) (2)(A)=n(称A为满秩 (3)A的n个列(行)向量线性无关; (4)齐次线性方程组AX=0只有零解; (5)|A≠0(即detA)≠0) 2.关于秩的几个不等式: 1)秩(A+B)≤秩(A)+秩(B) (2)秩(AB)≤min(秩(A),秩(B) (3)如果P,Q分别是m,n阶可逆矩阵,A为mxn矩阵,则 秩(PA)=秩(AQ=秩PAQ=秩(A) 因为:PA=A,所以秩(PA)=秩(A);或由A=P(PA),即得秩(A)≤秩(PA)≤秩(A)) (4)A为m×n矩阵,B为nxs矩阵 若AB=O,则秩(A)+秩(B)≤n (5)秩(AB)秩(A)+秩(B)-n r(A)+r(B) 例题 求如下方程组的一般解: +3x。=0 2x1-2x2-x3+2x4+4x5=0 3x1-3x2-x3+4x4+5x5=0 x+8方程组，矩阵辅导 1.矩阵的相抵(或等价)标准形 定义 设 Amn 经过初等变换可化为 B，就称 A 相抵于 B (A 等价于 B)，记作 A  B . 相抵关系  是一个等价关系。A  B，即存在 m 阶初等矩阵 P1,P2,,Ps和 n 阶初等矩阵 Q1,Q2,,Qt，使得 PsP2P1AQ1Q2Qt = B A  B 的充要条件是存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 PAQ=B(或 秩(A)=秩(B) ). 定理 若秩(Amn)= r，则存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 r r U O O E O PAQ =      = 2 1 其中 Er为 r 阶单位矩阵 ，O1是 r  (n-r)零矩阵，O2 是(m-r)r 零矩阵, O 是(m-r)(n-r)零矩阵. 称矩阵 Ur 为 A 的相抵(或等价)标准形。所有秩为 r 的 mn 矩阵都相抵于 Ur. 定理 设 A 为 n 阶矩阵，则下列命题等价: (1) A 可逆（称 A 为非奇异）； (2) r(A) = n (称 A 为满秩); (3) A 的 n 个列(行)向量线性无关； (4) 齐次线性方程组 AX=0 只有零解; (5) A0（即 det(A) 0）. 2. 关于秩的几个不等式： (1) 秩(A+B)  秩(A)+秩(B) (2) 秩(AB) min(秩(A),秩(B)) (3) 如果 P, Q 分别是 m, n 阶可逆矩阵, A 为 mn 矩阵，则 秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)=秩(A) (因为: PAA, 所以秩(PA)=秩(A) ; 或由 A=P−1 (PA)，即得:秩(A)秩(PA)秩(A) ) (4) A 为 mn 矩阵，B 为 ns 矩阵, 若 AB=O，则 秩(A)+秩(B) n； (5) 秩(AB)秩(A)＋秩(B)－n. (6) r(A) r(B) O B A O r = +       例题 1 求如下方程组的一般解：        − + + + = − − + + = − − + + = − − + = 8 2 3 3 4 5 0 2 2 2 4 0 3 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x