24:000104:0 45:00001-3:0 有三个非零行,所以r(A)=3,每行第一个非零元所在的列:第1,3,4列(共r个)对应 的变量x1,x3,x为主元,其余的n个变量x2,%为自由未知量.自由未知量(x2,x)分别取 (1,0);(0,1)代入得到X1=(1,1,0,0,0);X5=(-7,0,-4,3,1)为方程组解的极大线性无关组(基 础解系),其一般解为 k X=kX+k,X 4k2|=k0+k2-4(k,k为任意常数)。 Lk」[0 2若 Anb=0,则r(A)+r(B)≤n. 证明:记B=(1,B2,…,B)则AB=AB1,B,…,B)=(AB,AB…AB)=(O,…,O) 所以,B1,B2,…,是AmX=0的解,又AxX=0最多有n-r(A)个线性无关的解, 所以,r(B)=秩{β1,β2,…,β3}≤n-r(A),则r(A)+r(B)≤n 3.已知a1=(-1,-1,0,0)r,a2=(1,2,1,-1)T;a3=(0,1,1,-1)T;a4=(1,3,2,1)T a5==(2,6,4,-1).求一个极大线性无关组,并将其余向量用其线性表示 1-10-1-21「1010 12136011240110 A 01124 00011 000 0-1-1120000000000 a1,a2,a4是一个极大线性无关组。A1=[1,a2,a4],A1X=3, 由[A1,a3]=[a1,a2,a4,a3],得a3=a1+a2 由[A1,s]=[a1,a2,a4,s5],得a5=a1+2a2+a4。 4.若A为mxn矩阵,且m<n,则ATA是不可逆矩阵 证:由于秩(AA)≤秩(A)≤min{mn}=m,而AA是n阶矩阵,故AA是不可逆矩阵 5.设α,B为非零向量,a=(a,a2,an)1,B=(b,b2…,bh),A=ap,B=aa 证明:秩(A)=1;秩(B=1 证:秩(A)≤min(秩(a)秩(B)≤1, 又A≠0.秩(A)≥1,所以,秩(A)=1。同理秩(B)=1。 6.A为n阶幂等矩阵(A2=A),则,r(A+r(E-A=n(或r(A)+r(A-E=n)。 证明:由A2=A,A(A-E)=O,(A)+r(E-A)≤n 又r(A)+r(E-A)2r(A+EA)=(A=n,故等号成立r(A)+r(E-A=n 7.已知方程组AX=0解的极大线性无关组(基础解系)X1=(1,0,-1,0)T,X2=(0,2,1,1);求 个最简单的A            − − − − − − − 1 1 1 1 8 0 3 3 1 4 5 0 2 2 1 2 4 0 1 1 1 0 3 0              − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 1 0 4 0 1 1 0 0 7 0 有三个非零行，所以 r(A)=3，每行第一个非零元所在的列：第 1,3,4 列（共 r 个）对应 的变量 x1,x3,x4 为主元，其余的 n-r 个变量 x2,x5 为自由未知量. 自由未知量 (x2,x5)分别取 (1,0);(0,1)代入得到 X1=(1,1,0,0,0);X5=(-7,0,-4,3,1)为方程组解的极大线性无关组（基 础解系），其一般解为： ( , 为任意常数)。 1 3 4 0 7 0 0 0 1 1 3 4 7 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 k k k k k k k k k k X k X k X                 − − +                 =                 − − = + = 2 若 AmnBns=O,则 r(A)+r(B)n. 证明：记 B=(1, 2 ,, s), 则 AB=A(1, 2 ,, s) =(A1, A2 ,,A s)=(O,, 0), 所以，1, 2 ,, s 是 AmnX=O 的解，又 AmnX=O 最多有 n－r(A)个线性无关的解， 所以，r(B)＝秩｛1, 2 ,, s｝n－r(A), 则 r(A)+r(B)n. 3. 已知1=(-1,-1,0,0)T, 2=(1,2,1,-1)T; 3=(0,1,1,-1)T; 4==(1,3,2,1)T ; 5==(2,6,4,-1)T.求一个极大线性无关组，并将其余向量用其线性表示。 解： A =U                          − − −              − − − − − − = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 2 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 2 4 1 1 0 1 2 0 1 1 1 2 0 1 1 2 4 1 2 1 3 6 1 1 0 1 2 1，2，4 是一个极大线性无关组。A1=[1，2，4]，A1X=3 , 由[A1,3 ]=[1, 2，4，3],得 3=1+2, 由[A1,5 ]=[1, 2，4，5], 得 5=1+22+4。 4． 若 A 为 mn 矩阵，且 m<n，则 ATA 是不可逆矩阵。 证：由于秩(ATA)秩(A) min{m,n}=m，而 ATA 是 n 阶矩阵，故 ATA 是不可逆矩阵。 5．设, 为非零向量，＝(a1, a2 ,, an) T ; =(b1, b2 ,, bn) T，A= T ; B=  T ; 证明：秩(A)=1; 秩(B)=1 证：秩(A) min(秩(),秩( T )) 1, 又 A0. 秩(A) 1，所以，秩(A) ＝1。同理秩(B) ＝1。 6． A 为 n 阶幂等矩阵（A2 =A）,则，r(A)+r(E－A)=n（或 r(A)+r(A－E)=n）。 证明：由 A2 =A，A (A-E)=O, r(A)+r(E－A)n； 又 r(A)+r(E－A)r(A+E-A)=r(A)=n, 故等号成立:r(A)+r(E－A)=n. 7. 已知方程组 AX=0 解的极大线性无关组（基础解系）X1=(1,0,-1,0)T, X2=(0,2,1,1)T; 求 一个最简单的 A