解:令A的行向量为(a,a,a3,a),则AX1=0(i=1,2),得 a1-a3=0 2a2+a3+a4=0 (a12a2,a32a4)=k1(1-,10)+k2(0,-,0,1),所以,取 10 A20-01因为n=4r=2所以A为最简单的。 8设A为实矩阵,方程组I:AX=O;Ⅱ:AAX=O,下列哪个成立? (A)L,Ⅱ为同解方程组 B)Ⅱ的解是I的解,反之不对; (C)I的解是Ⅱ的解,反之不对; (D)I的解不是I的解,I的解不是I的解。 答:(A)成立。因为若AX=O,则A"(AX)=O,I的解都是Ⅱ的解:反之, 若AAX=O,则X(AAX=(AX)AX=0,向量AX的模=0,所以AX=O Il的解都是I的解,所以,L,为同解方程组 9.设α=(1,2,1),β=(1,12,0),y=(0,0,8),A=aB,B=Ba,求解方程: B2A2X=AX+B X+y 解:(2B2A2-A4-B)X=y B=Ba=2, A=a(BaB=2aB=2A; A=A'A=2A. 2A=8A. (2B2A2-A-B)X=(8A-8A-16E)X=8(A-2E)X=y;(A-2E)X=ky, 10 2-10 得X 1-2lx 10.设A=(a)x,b=(b,bx,…b),X=(x,x2…,x),Y=(y,y,…y)",证明: 若AY=b有解,则AX=O的任一组解,都满足bX=O; 证明:若Yo是AY=b的任一解:AY0=b,有b=(AY0)1=Y0A. 设X为AX=O的任一解,AX0=O则 bX0=(YoA)X=Y(AX)=YTO=O,所以X0为bX=O的解; 11.下列命题是否正确? (1)若a1…,On(m>2)线性相关,则其中每一向量都是其余向量的线性组合 (2)若a1…,an线性无关,则其中每一向量都不是其余向量的线性组合 3)a1,…an(m>2)线性无关的充要条件是任意两个向量都线性无关 (4)若a1,a2线性相关,B1,B2线性相关,则《1+月、a2+B2也线性相关 (5)若a1,…,Cn线性无关,则a1+a2,a2+a,…,an-1+an,an+a1也线性无关 (6)若a1,a2,a3线性相关,则a1+a2,a2+a3,C3+ax1也线性相关 (7)设B={aa2a3}线性无关,非零向量a0∈R3,则 {a+a12a0+a2a+a3}也是线性无关 (8)设B={ax1,a2}线性无关则{a1+a2,01-a2}也是线性无关 解:(1)不正确,每一个’改为‘至少一个’才成立: (2)正确;(3)不正确必要非充分解：令 A 的行向量为 (a1,a2, a3, a4),则 AXi=0 （i=1,2）,得 因为 所以 为最简单的。 所以，取 A n r A a a a a k k a a a a a . 4, 2, 0 0 1 1 1 0 ( , , , ) (1, ,1,0) (0, ,0,1), 2 0 0 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3  = =      − − = = − + −    + + = − = 8.设 A 为实矩阵，方程组 I：AX=O；II：ATAX=O，下列哪个成立？ (A) I, II 为同解方程组; (B) II 的解是 I 的解，反之不对; (C) I 的解是 II 的解，反之不对; (D) II 的解不是 I 的解，I 的解不是 II 的解。 答：（A）成立。因为若 AX=O，则 AT (AX)=O, I 的解都是 II 的解；反之， 若 ATAX=O，则 XT (ATAX)=(AX) TAX=0，向量 AX 的模＝0，所以 AX＝O； II 的解都是 I 的解，所以， I, II 为同解方程组。 9. 设=(1, 2, 1)T , =(1, 1/2, 0)T , =(0, 0, 8)T , A= T , B= T, 求解方程： 2B2A 2X =A4X+B4X+ 解：(2B2A 2－A 4－B 4 )X= 0 . 0 1 2 1 , 1 0 0 1 2 2 1 0 1 0 (2 ) (8 8 16 ) 8( 2 ) ; ( 2 ) , 2, ( ) 2 2 ; 2 2 8 . 2 1 3 2 1 2 1 2 1 8 2 2 4 4 2 1 2 4 2 2           − +           =           =                     − − − − − = − − = − = − = = = = = = = =  = X k x x x B A A B X A A E X A E X A E X B A A A A A A A A T T T T 即 得           10.设 A=(aij)mn , b= (b1,b2,,bm) T , X= (x1,x2,,xm) T , Y= (y1,y2,,yn) T ,证明： 若 AY=b 有解，则 ATX=O 的任一组解，都满足 b TX=O； 证明： 若 Y0 是 AY=b 的任一解：AY0=b, 有 b T＝(AY0) T =Y0 TAT . 设 X0 为 ATX=O 的任一解，ATX0=O,则 b TX0=( Y0 TAT )X0= YT (ATX0) = YT O=O, 所以 X0 为 b TX=O 的解； 11.下列命题是否正确？. (1)若 , , ( 2) 1   m m  线性相关, 则其中每一向量都是其余向量的线性组合. (2) 若   m , , 1  线性无关, 则其中每一向量都不是其余向量的线性组合。 (3) , , ( 2) 1   m m  线性无关的充要条件是任意两个向量都线性无关. (4)若 1 2  , 线性相关, 1 2  , 线性相关, 则 1 + 1、2 + 2 也线性相关. (5)若  n , , 1  线性无关, 则 1 2 2 3 1 1  + , + ,  ,n− +n ,n + 也线性无关. (6)若 1 2 3  , , 线性相关, 则 1 2 2 3 3 1  + , + , + 也线性相关. (7) 设 { , , } B = 1 2 3 线性无关., 非零向量 3 0  R , 则 { , , } 0 +1 0 +2 0 +3 也是线性无关. (8) 设 { , } B = 1 2 线性无关.则 { , } 1 +2 1 −2 也是线性无关. 解：(1)不正确,‘每一个’改为‘至少一个’才成立； (2)正确； (3) 不正确,必要非充分；