(4)不正确,如(1,0,(20)相关,(O,1)(0,3)相关,(1,1)(2,3)无关; (5)n为奇数时,线性无关;n为偶数时,线性相关,因为AX=O(A如下:) 当n为偶数时AX=O有非零解 当n为奇数时AX=O只有零解 (6)正确,不仿设a1可经a2,a1线性表示,则a1+a2,2+ax3x3+a1可经a2,a线性表 (7)不正确,如=-1; (8)正确,设 k(ax+a2)+k(a1-a2)=(k+k2x1+(kk2a2=0k+k2=0,k-k=0,得k=k2=0 12.设A,B∈Mn(R),判断下列命题是否正确? (1)若A,B皆可逆,则A+B也可逆 2)若A+B可逆,则A,B皆可逆 (3)若AB不可逆,则A,B皆不可逆 (4)若A是幂零矩阵(即k∈N,使A=0),则A不可逆 (5)若AB=0,则A0或B=0 (6)(A+E)(A-E)=(A-E)(A 解:(1),(2),(3),否;(4),(5),(6),是. 13.求031。 解:设B=001|,原式=(3E+By=3E+B3=B+(xn1)3nB2 000 (因为B3=O, 320"「3”n3"3′ B2=000所以,032=03 000 003 00 4.已知B可逆,A,B,C满足:ABC+E)-B=E,求C。 解:两边右乘B1(BC+E)得: ( BC+E 所以, C=A-B- 15.已知BC,A满足:(E一CB)CA=E。求A,Al。 解:左=[C(E-CB)]A=(CB)A=(C-B)A=E, 所以A1=(Cr-B) 16.已知(2C一B)可逆,B,C,A满足:(2E-BC1)A=(C),求A, 解:[A(2E-BC)]=(C),转置得:A(2E一BC)=C1 A=c1(2E-BC1)1=((2E-BC)C)4=(2C-B) 17.设X={x1…,xn},y=[y,…,yn,且XY=3,B=XY,A=E+B证明(4)不正确,如(1,0),(2,0)相关，(0,1),(0,3) 相关，(1,1)(2,3)无关; (5) n 为奇数时, 线性无关；n 为偶数时, 线性相关, 因为 AX=O(A 如下：)    = =             当 为奇数时 只有零解。 当 为偶数时 有非零解； AX O AX O n n 1 1 1 1 1 1    (6)正确, 不仿设1可经 2 , 3线性表示，则 1 2 2 3 3 1  + , + , + 可经2 ,3线性表示， (7)不正确,如0=-1 ； (8)正确，设 ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0, 0, k1 1 +2 + k2 1 −2 = k1 + k2 1＋ k1－k2 2 ＝ k1 + k2 = k1－k2 = 得 k1=k2=0. 12. 设 A,BMn(R), 判断下列命题是否正确？ (1) 若 A,B 皆可逆, 则 A+B 也可逆； (2) 若 A+B 可逆, 则 A,B 皆可逆； (3) 若 AB 不可逆, 则 A,B 皆不可逆； (4)若 A 是幂零矩阵(即 kN, 使 A k =O), 则 A 不可逆； (5)若 AB=O, 则 A=O 或 B=O; (6)(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E) 解： (1),(2),(3),否；(4),(5),(6),是. 13. 求 n           0 0 3 0 3 1 3 1 0 。 解: 设 B=           0 0 0 0 0 1 0 1 0 ，原式＝(3E+B)n=3E+n3 n-1 B+(n(n-1) /2)3 n-2 B 2 , ( 因为 B 3 =O)，. , 0 0 3 0 3 3 3 3 3 0 0 3 0 3 2 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 2 1 ( 1) 2           =                     = − − − − n n n n n n n n n n n B 所以， 14. 已知 B 可逆, A,B,C 满足：A(BC+E) –1B=E, 求 C。 解：两边右乘 B –1 (BC+E) 得： A=B–1 (BC+E) = B-1 +C; 所以， C=A-B –1。 15. 已知 B,C,A 满足：(E－C -1B)TC TA=E。求 A, A-1。 解：左＝[C (E－C -1B)]TA=(C-B)TA=( CT－B T )A=E, 所以 A-1=( CT－B T ); A=( CT－B T ) -1 . 16. 已知(2C－B)可逆，B, C, A 满足：(2E－BC-1 ) TAT=(CT ) –1，求 A.， 解： [A (2E－BC-1 ) ]T=(C- 1 ) T , 转置得： A (2E－BC-1 ) =C- 1 A＝C - 1 (2E－BC-1 ) -1＝( (2E－BC-1 )C)-1=(2C－B)-1 17.设 T n T n X [x , , x ] , y [y , , y ] = 1  = 1  , 且 XTY=3, B=XYT ,A=E+B 证明：