(1)B=3B (2)A可逆,并求A 证明:()B=(XY)=X(YX(Y1…XYX)Y=3XYy=3B (2)A2=(E+B)2=E+2B+B2=E+5B,=E+5(A-E)=5A4E,(B2=3B) A2-5A=-4E,A(A-5E)=4E E 18设B=[x1,…xn]≠0,A=E-BB,证明: (1)A2=A→BB=1;(2)ββ=1时A不可逆。 明:(1)设βB=k,A2=(EBB)2=E2BB+BBBB A2=A→E+(k-2)BB=E-BB→k-2=1→k=βBr BB=1=A2=E-2BBT+BB'BBT=E-BB=A; (2)ββ=1A2=A,若可逆,→AA2=AA=E,→A=E,与A=(E-BB)矛盾 19.已知A≠0为n阶实矩阵,证明:AA≠0. 明 aa 设A={a1…an则AA=:[o 由A≠0,存在a:=(a1 2>0,所以,AA≠（1）B k =3k-1B； （2）A 可逆, 并求 A -1 . 证明：(1) Bk = (XYT ) k = X(YT X)(YT X)(YT X)YT =3k-1 XYT = 3k-1B; （2）A2= (E+B)2 =E+2B+B2 =E+5B,=E+5(A-E)=5A-4E， （ B 2 =3B） A2－5A＝－4E， A(A-5E)=-4E, 4 ( 5 ) , 4 ( 5 ) 1 A E E A A E A − = = − − − − 18.设 T T  = [x1 ,  , x n ]  0, A = E −   ,证明： (1) A2=A T  =1; (2)  T  =1 时 A 不可逆。 证明：（1）设  T  =k, A2=(E- T ) 2 =E-2 T+ T T=E+(k-2) T ) A2 =A  E+(k-2) T=E- T  k-2=-1  k= T =1 ;  T=1  A2 = E-2 T+ T T =E- T=A ; (2)  T  =1  A2=A ,若可逆，A -1A2= A -1A=E, A=E， 与 A=(E- T )矛盾。 19.已知 A0 为 n 阶实矩阵，证明: A TA0. 证明: 设             =           = = n T n T n n T T n T n T T A n A A                       1 1 1 1 1 1 1 [ , , ],则 , 由 A0,存在i=(a1i, a2i, ,ani) T0, i TI=a1i 2+a2i 2+ +ani 2>0,所以，A TA0