得到 c2n(入) A(A)≈ 0cm2(入) cmn(入) 其中G1(从)=b;/(从-/()ba1()(=2, 项系数为1,且记 为d1(入).则易见d1(从e()(i=2,3,…,m;j=2,3,……,n).记 c22(X) C1(A) cmn(入) 则Ci1(λ)是(m-1)×(n-1)的λ-矩阵.对C1(λ)重复上面的步骤,可使第二行第二列除第(2,2)个 元素d2(入)外其余全为零,且d2()整除其余所有元素.易知,d1()|d2(入).不断做下去,直到除第(i,i) 元素外的其它元素均为零.与数字矩阵情形一样,做λ-矩阵的初等变换不改变矩阵的秩所以对角元素有 r个不等于零 定理中的dag(d1(),d2(A),…,d(A),0,…,0)称为A(X)的法式 推论72.1任一n阶可逆A一矩阵都可以表示为有限个初等入一矩阵之积 证明设A(是n阶可逆入一矩阵,则存在P(入),Q(入),使得 P(A)4()Q(=diag(d1(入),d2(),…,d+(入),0,…,O), 其中P(入),Q()是有限个初等入一矩阵的乘积因为A(入)可逆,r(4()=n.做入-矩阵的初等变 换不改变矩阵的秩,所以T=n.且d4()为非零常数(i=1,2,……,n).因为d(A)首项系数为一,所以 d1(A)=1(i=1,2,…,n).这样,A()=P(A)-Q()-1.因为初等-矩阵的逆为初等入-矩阵 所以4(A)可表为有限个初等λ一矩阵之积 习题 1.用A一矩阵的初等变换的方法求下列矩阵的法式 入2入-1A A-1-21 A2+1x2+A-1-A2 0A+2 2.设(f()),9()=1.证明 g(入)0 09( 0f(入) 0f(入)9() 3.设A∈Fn×n.证明: (AE-A)≈diag(d1(入),d2(入) () 其中d()(j=1,2,……,n)首项系数为1,d1(入)|d2+1(X)(t=1,2,…,n-1),且∫A()=d1(d2(X)…dn(入) (2)上式中degd1(x)≠0的充分必要条件是A=aEn A(λ) ≃   b11(λ) 0 · · · 0 0 c22(λ) · · · c2n(λ) . . . . . . . . . 0 cm2(λ) · · · cmn(λ)   , V cij (λ) = bij (λ) − qij (λ)bi1(λ)(i = 2, 3, · · · , m; j = 2, 3, · · · , n). &` b11 fyrgp 1, W6 p d1(λ). 9 d1(λ)|cij (λ)(i = 2, 3, · · · , m; j = 2, 3, · · · , n). 6 C1(λ) =   c22(λ) · · · c2n(λ) . . . . . . cm2(λ) · · · cmn(λ)   ,  C1(λ) e (m − 1) × (n − 1)  λ− A
! C1(λ) )_P ￾Db#|#I (2, 2) , h d2(λ) nV [pJ￾W d2(λ) V i h
￾ d1 (λ)|d2(λ). "sZ￾ (i, i) hnVj hBpJ
gAX{￾~￾" λ− A3 *A
i
!< h r ,  J
✷ F diag(d1(λ), d2(λ), · · · , dr(λ), 0, · · · , 0) p A(λ)  $(. *& 7.2.1 \￾ n >DU λ− AD
dpw, λ− A4
-' ` A(λ) e n >DU λ− A￾ P(λ), Q(λ), b P(λ)A(λ)Q(λ) = diag(d1(λ), d2(λ), · · · , dr(λ), 0, · · · , 0), V P(λ), Q(λ) ew, λ− AÆ4
p A(λ) DU￾ r(A(λ)) = n. " λ− A 3 *A￾i
r = n. W di(λ) p'Jg (i = 1, 2, · · · , n). p di(λ) fyrgp￾￾i
di(λ) = 1(i = 1, 2, · · · , n). ~￾ A(λ) = P(λ) −1Q(λ) −1 . p λ− AUp λ− A￾ i
A(λ) Dpw, λ− A4
✷ +) 1.  λ− A3%$YsIA$
  1 − λ 2λ − 1 λ λ λ2 −λ λ 2 + 1 λ 2 + λ − 1 −λ 2   ,   λ − 1 −2 1 0 λ − 1 −1 0 0 λ + 2   . 2. ` (f(λ), g(λ)) = 1. Q  f(λ) 0 0 g(λ)  ≃  g(λ) 0 0 f(λ)  ≃  1 0 0 f(λ)g(λ)  . 3. ` A ∈ F n×n . Q (1) (λE − A) ≃ diag(d1(λ), d2(λ), · · · , dn(λ)), V dj (λ)(j = 1, 2, · · · , n) fyrgp 1, di(λ)|di+1(λ)(i = 1, 2, · · · , n−1), W fA(λ) = d1(λ)d2(λ)· · · dn(λ). (2) _  degd1(x) 6= 0 (l:e A = aEn. 2