厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: dpko. xmu.edu. cn 第七章相似标准形 872A-矩阵的法式 为讨论入一矩阵在相抵关系的标准形,先给出如下引理 引理721设A()=(a()mxn为一非零入-矩阵,则A(入)必相抵于矩阵B(入)=(b1;(入)mx 其中b1()≠0且b1(从整除B()中的任意元素b() 证明因为A(A)≠0,我们总可以经过A一矩阵的互换变换使得第(1,1)元素非零.我们不妨设 11())≠0.现在对dega1()做数学归纳证明结论 当 degal()=0时,a11(为非零常数,必整除所有元素,结论成立 假设当dega()<t时,结论成立.考虑dega1(A)=t情况,若a1()整除A(入中任意元素 a(入),则结论成立.我们设存在a(A)不能被a11(入)整除 (1)若j=1,即A(入)的第一列中有一个元素an1(),满足 a1()=a11)q(A)+r(入), 其中degr(从)< degang(A).将A()的第一行乘以一q(x)加到第i行,再将第行和第i行互换,得到的 A-矩阵中第(1,1)元素是r(x),满足degr(从)<t.对得到的矩阵利用归纳假设得到结论 (2)若i=1,与情况(1)同理可证 (3)若a1()整除第一行和第列的所有元素,用消法变换,可得 0b2() A(入) 0bm2(入) 若a1()整除所有的b()(i=2,3,…,m;j=2,3,…,m),则结论成立.若存在ast(从)(2≤s≤ m;2≤t≤n)不能被a1()整除,将第t列加到第一列,归结于情况(1) 定理721设A(入)是一个n阶A-矩阵且r(4()=r,则 A(入)≈diag(d1(入),d2(入),……,d(,0.……,0), 其中d4(入)为首一多项式(i=1,2,……,r),且d()d2+1()(i=1,2,……,r-1) 证明由引理71.1 A()≈B(从=(b(入)mxn, 其中b1(A)≠0且b1(从)整除B()中的所有元素b().设b(A)=b11(A)93(入),将B(X)的第 列乘以-q1j(加到第j列,j=2,3,…,n,再将第行乘以-q1(加到第i列,i=2,3,…,m,tN}+g= o IP  59.77.1.116; R gdjpkc.xmu.edu.cn 038 65.:7 §7.2 λ− 29/14 pkL λ− Ax.r{￾u-℄sF
,% 7.2.1 ` A(λ) = (aij (λ))m×n p￾'J λ− A￾ A(λ) x A B(λ) = (bij (λ))m×n, V b11(λ) 6= 0 W b11(λ)  B(λ) \ h bij (λ). -' p A(λ) 6= 0, qO D
0 λ− A233b (1, 1) h'J
qO &` a11(λ) 6= 0. v! dega11(λ) "g}/SQ?L
 dega11(λ) = 0 a￾ a11(λ) p'Jg￾i h￾?L H
8` dega11(λ) < t a￾?L H
CK dega11(λ) = t XE
^ a11(λ)  A(λ) \ h aij (λ), ?L H
qO` aij (λ) T a11(λ) 
(1) ^ j = 1, 5 A(λ) ￾I￾, h ai1(λ), M! ai1(λ) = a11(λ)q(λ) + r(λ), V degr(λ) < dega11(λ). ; A(λ) ￾|Æ
−q(x) 7 i |￾Æ;|1 i |23￾ λ− A (1, 1) he r(x), M! degr(λ) < t. !AG/S8`?L
(2) ^ i = 1, XE (1) mFD
(3) ^ a11(λ) ￾|1￾Ii h￾z$3￾D A(λ) ≃   a11(λ) 0 · · · 0 0 b22(λ) · · · b2n(λ) . . . . . . . . . 0 bm2(λ) · · · bmn(λ)   . ^ a11(λ) i bij (λ) (i = 2, 3, · · · , m; j = 2, 3, · · · , n), ?L H
^ ast(λ)(2 ≤ s ≤ m; 2 ≤ t ≤ n) T a11(λ) ￾; t I7￾I￾/? XE (1). ✷ #% 7.2.1 ` A(λ) e￾, n > λ− AW r(A(λ)) = r,  A(λ) ≃ diag(d1(λ), d2(λ), · · · , dr(λ), 0, · · · , 0), V di(λ) pf￾"y (i = 1, 2, · · · , r), W di(λ)|di+1(λ)(i = 1, 2, · · · , r − 1). -' F 7.1.1, A(λ) ≃ B(λ) = (bij (λ))m×n, V b11(λ) 6= 0 W b11(λ)  B(λ) i h bij (λ). ` bij (λ) = b11(λ)qij (λ), ; B(λ) ￾ IÆ
−q1j(λ) 7 j I￾ j = 2, 3, · · · , n, Æ;￾|Æ
−qi1(λ) 7 i I￾ i = 2, 3, · · · , m, 1