§221二阶线性偏微分方程的分类 第2页 §22.1二阶线性偏微分方程的分类 在本课程的数学物理方程部分中,总共讨论了三种类型偏微分方程 ·波动方程 ·热传导方程 ·稳定问题,如 Laplace方程, Poisson方程, Helmholtz方程等 定解问题的解.这三类方程,描写了不同的物理过程,它们的解也都表现出各自不同的特 点(例如,见13.6~13.8各节的讨论).在数学上,这三类方程也分属双曲型、抛物型和椭圆型 三类(见12.4节) 二阶线性偏微分方程,是否就只有这三种类型? 回答是:对于两个自变量的情形,一定如此 下面以两个自变量的二阶线性偏微分方程为例,作一个典型讨论.对于更多个自变量的情 形,问题要复杂一些,但讨论的基本方法是一样的. 两个自变量(x,y)的二阶线性偏微分方程的普遍形式是: 2 a2u douau +2b+c2+ aar2 +axoy ay2+ fu+g=0, () 其中a,b,c,d,e,f和g是x,y的已知函数.通常假设它们是连续可微的.显然,函数a,b,c中, 至少有一个不恒为0,否则,就不成其为二阶偏微分方程. 首先考虑a和(或)c不恒为0的情形.不妨设a≠0.这时可作变换 E=中(x,y),n=y(x,y) 为了保证和n仍然是独立变量,这一组变换必须满足 (,n)≠0 a(x, y) 在这一组变换下,有 au _ag au an au ax ax ag ax ax ag ax an' au av au ay ay ag + y an a2u () 2a2u ,apay a2u (av 282u a2pou a2vou ax2a2+2 dr+(an2+ax2+x2n a2u apapa2u a2u ava2u ardy ax ay ag2+ay+ ay agan+ ax ay an2 2 au ax ay ag axay an 2=()2 92u aoay a 2 0y2 2+2 。 +( 202 ayay agan ay an? + du y2 ay2 an§22.1 二阶线性偏微分方程的分类 第 2 页 §22.1 二阶线性偏微分方程的分类 在本课程的数学物理方程部分中，总共讨论了三种类型偏微分方程 • 波动方程 • 热传导方程 • 稳定问题，如Laplace方程，Poisson方程，Helmholtz方程等 定解问题的解．这三类方程，描写了不同的物理过程，它们的解也都表现出各自不同的特 点(例如，见13.6 ∼ 13.8各节的讨论)．在数学上，这三类方程也分属双曲型、抛物型和椭圆型 三类(见12.4节)． 二阶线性偏微分方程，是否就只有这三种类型？ 回答是：对于两个自变量的情形，一定如此． 下面以两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，作一个典型讨论．对于更多个自变量的情 形，问题要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的． 两个自变量(x, y)的二阶线性偏微分方程的普遍形式是： a ∂ 2u ∂x2 + 2b ∂ 2u ∂x∂y + c ∂ 2u ∂y2 + d ∂u ∂x + e ∂u ∂y + fu + g = 0, (z) 其中a, b, c, d, e, f和g是x, y的已知函数．通常假设它们是连续可微的．显然，函数a, b, c中， 至少有一个不恒为0，否则，就不成其为二阶偏微分方程． 首先考虑a和(或)c不恒为0的情形．不妨设a 6≡ 0．这时可作变换 ξ = φ(x, y), η = ψ(x, y). 为了保证ξ和η仍然是独立变量，这一组变换必须满足 ∂(ξ, η) ∂(x, y) 6= 0. 在这一组变换下，有 ∂u ∂x = ∂ξ ∂x ∂u ∂ξ + ∂η ∂x ∂u ∂η = ∂φ ∂x ∂u ∂ξ + ∂ψ ∂x ∂u ∂η , ∂u ∂y = ∂φ ∂y ∂u ∂ξ + ∂ψ ∂y ∂u ∂η , ∂ 2u ∂x2 = ³ ∂φ ∂x ´2 ∂ 2u ∂ξ2 +2∂φ ∂x ∂ψ ∂x ∂ 2u ∂ξ∂η + ³ ∂ψ ∂x ´2 ∂ 2u ∂η2 + ∂ 2φ ∂x2 ∂u ∂ξ + ∂ 2ψ ∂x2 ∂u ∂η , ∂ 2u ∂x∂y = ∂φ ∂x ∂φ ∂y ∂ 2u ∂ξ2 + ³ ∂φ ∂x ∂ψ ∂y + ∂φ ∂y ∂ψ ∂x ´ ∂ 2u ∂ξ∂η + ∂ψ ∂x ∂ψ ∂y ∂ 2u ∂η2 , + ∂ 2φ ∂x∂y ∂u ∂ξ + ∂ 2ψ ∂x∂y ∂u ∂η , ∂ 2u ∂y2 = ³ ∂φ ∂y ´2 ∂ 2u ∂ξ2 +2∂φ ∂y ∂ψ ∂y ∂ 2u ∂ξ∂η + ³ ∂ψ ∂y ´2 ∂ 2u ∂η2 + ∂ 2φ ∂y2 ∂u ∂ξ + ∂ 2ψ ∂y2 ∂u ∂η