§221二阶线性偏微分方程的分类 第3页 所以,方程(型)变为 2+2B0a au Fu+G A +2b 物+物物)+物物 C=a( φ+c0+d2 y ay ay 容易证明 lo ay do ay dy dy a O(5,m) (x,y) 为了书写简便起见,令 du 则方程(#)变为 次2+2B +更(s, 0. (##) 这样,我们就希望,通过适当选择变换,使得A,B,C中有一个或几个为0,达到使方程简化的 目的 为此,要介绍一个定理 定理如果φ(x,y)=C是方程 da + c(dr) (a) 的一般积分,则=叭(x,y是方程 do do 的一个特解§22.1 二阶线性偏微分方程的分类 第 3 页 所以，方程(z)变为 A ∂ 2u ∂ξ2 + 2B ∂ 2u ∂ξ∂η + C ∂ 2u ∂η2 + D ∂u ∂ξ + E ∂u ∂η + F u + G = 0, (#) 其中， A = a ³ ∂φ ∂x ´2 + 2b ∂φ ∂x ∂φ ∂y + c ³ ∂φ ∂y ´2 , B = a ∂φ ∂x ∂ψ ∂x + b ³ ∂φ ∂x ∂ψ ∂y + ∂φ ∂y ∂ψ ∂x ´ + c ∂φ ∂y ∂ψ ∂y , C = a ³ ∂ψ ∂x ´2 + 2b ∂ψ ∂x ∂ψ ∂y + c ³ ∂ψ ∂y ´2 , D = a ∂ 2φ ∂x2 + 2b ∂ 2φ ∂x∂y + c ∂ 2φ ∂y2 + d ∂φ ∂x + e ∂φ ∂y , E = a ∂ 2ψ ∂x2 + 2b ∂ 2ψ ∂x∂y + c ∂ 2ψ ∂y2 + d ∂ψ ∂x + e ∂ψ ∂y , F = f, G = g. 容易证明 B 2 − AC = ³ ∂φ ∂x ∂ψ ∂y − ∂φ ∂y ∂ψ ∂x ´2 ¡ b 2 − ac¢ (>) = ¯ ¯ ¯ ¯ ∂(ξ, η) ∂(x, y) ¯ ¯ ¯ ¯ 2 ¡ b 2 − ac¢ . 为了书写简便起见，令 Φ ³ ξ, η, u, ∂u ∂ξ , ∂u ∂η ´ ≡ D ∂u ∂ξ + E ∂u ∂η + F u + G, 则方程(#)变为 A ∂ 2u ∂ξ2 + 2B ∂ 2u ∂ξ∂η + C ∂ 2u ∂η2 + Φ ³ ξ, η, u, ∂u ∂ξ , ∂u ∂η ´ = 0. (##) 这样，我们就希望，通过适当选择变换，使得A, B, C中有一个或几个为0，达到使方程简化的 目的． 为此，要介绍一个定理． 定理 如果φ(x, y) = C是方程 a ¡ dy ¢2 − 2bdydx + c ¡ dx ¢2 = 0 (a) 的一般积分，则ξ = φ(x, y)是方程 a ³ ∂φ ∂x ´2 + 2b ∂φ ∂x ∂φ ∂y + c ³ ∂φ ∂y ´2 = 0 (b) 的一个特解．