§221二阶线性偏微分方程的分类 第4页 证因为(x,y)=C,故有 axd+ady=0即dy=-a/ydr 这里,不妨设0/0y≠0.代入方程(a),就有 a(dy ).-2bdydr + c(dr) +cl(dr m)+2mm+(m)](m)=0 所以(b)成立.定理得证.口 这个定理告诉我们,如果想要选择变换ξ=φ(x,y)使A=0,或是选择变换η= v(x,y)使C=0,就可以通过求解常微分方程 ①+C=0 的解来得到.在一般情况下,这样能得到两个无关解,称为偏微分方程(为的特征线 在具体求解方程(c)时,又需要区别下列三种情形 1.b2-ac>0.这时,从方程(c)可以求得两个实函数解 φ(x,y)=C1及v(x,y)=C2 也就是说,偏微分方程(呀有两条实的特征线.于是,令 s=叭(x,y),n=v(x,y), 就可以使得A=C=0.同时,根据(米)式,就可以断定B一定不为0.所以,方程(##)就变 成 +(次)=0 或者进一步作变换 5+T 于是有 所以 又可以进一步将方程化为 这种类型的方程称为双曲型方程.波动方程就属于这种类型§22.1 二阶线性偏微分方程的分类 第 4 页 证 因为φ(x, y) = C，故有 ∂φ ∂xdx + ∂φ ∂y dy = 0 即 dy = − ∂φ/∂x ∂φ/∂y dx. 这里，不妨设∂φ/∂y 6= 0．代入方程(a)，就有 a ¡ dy ¢2 − 2bdydx + c ¡ dx) 2 = h a ³ − ∂φ/∂x ∂φ/∂y ´2 − 2b ³ − ∂φ/∂x ∂φ/∂y ´ + c i¡ dx ¢2 = h a ³ ∂φ ∂x ´2 + 2b ∂φ ∂x ∂φ ∂y + ³ ∂φ ∂y ´2 i³ dx ∂φ/∂y ´2 = 0, 所以(b)成立．定理得证． 这个定理告诉我们，如果想要选择变换ξ = φ(x, y)使A = 0，或是选择变换η = ψ(x, y)使C = 0，就可以通过求解常微分方程 a µ dy dx ¶2 − 2b dy dx + c = 0 或 dy dx = b a ± 1 a p b 2 − ac (c) 的解来得到．在一般情况下，这样能得到两个无关解，称为偏微分方程(z) 的特征线． 在具体求解方程(c)时，又需要区别下列三种情形： 1. b 2 − ac > 0. 这时，从方程(c)可以求得两个实函数解 φ(x, y) = C1 及 ψ(x, y) = C2, 也就是说，偏微分方程(z)有两条实的特征线．于是，令 ξ = φ(x, y), η = ψ(x, y), 就可以使得A = C = 0．同时，根据(>)式，就可以断定B一定不为0．所以，方程(##) 就变 成 ∂ 2u ∂ξ∂η + Φ ³ ξ, η, u, ∂u ∂ξ , ∂u ∂η ´ = 0. (M) 或者进一步作变换 ρ = ξ + η, σ = ξ − η, 于是有 ∂ ∂ξ = ∂ ∂ρ + ∂ ∂σ , ∂ ∂η = ∂ ∂ρ − ∂ ∂σ . 所以 ∂ 2u ∂ξ∂η = ∂ 2u ∂ρ2 − ∂ 2u ∂σ2 , 又可以进一步将方程化为 ∂ 2u ∂ρ2 − ∂ 2u ∂σ2 + Φ1 ³ ρ, σ, u, ∂u ∂ρ , ∂u ∂σ ´ = 0. 这种类型的方程称为双曲型方程．波动方程就属于这种类型．