§221二阶线性偏微分方程的分类 2.b2-ac<0.这时,可以重复上面的讨论,只不过得到的(x,y)和(x,y)是一对共 轭的复函数,或者说,偏微分方程(的两条特征线都不是实的.于是 n=v(a, y) 是一对共轭的复变量.这样也能够得到以复变量和为自变量的方程(△).进一步引进两个新 的实变量 P=8+, i(-n) 于是 09.0 所以 方程(△)又可以进一步化为 + 这种类型的方程称为椭圆型方程.显然, Laplace方程、 Poisson方程和 Helmholtz方程都属于 这种类型 3.b2-ac=0.这时,方程(c)一定有重根 dr 因而只能求得一个解,例如,o(x,y)=C.作变换￡=φ(x,y)就可以使A=0.但是, 由(来)式可以断定,一定有B2-AC=0,这意味着B也一定为0.所以,完全可以任意选取另 一个变换,n=v(x,y),只要它和=φ(x,引)彼此独立、即 ≠0 即可.这样,方程(##)就化为 +更(5,n 0 dn2 这种类型的方程称为抛物型方程.热传导方程就属于这种类型 以上的讨论是在α和c不恒为0的前提下进行的.在适当选择变换后,总可以使 得A,B,C中有一个(B)或两个(B以及A或C)为0 而且,事实上,如果再作进一步的变换,还可以把不为0的系数变为1或-1. 当A=C=1,B=0时,方程是椭圆型 A=-C=士1,B=0时,方程为双曲型 A=B=0,C=1或A=1,B=C=0是,方程为抛物型 如果a和c恒为0.那么,一定有b≠0.这正是双曲型方程§22.1 二阶线性偏微分方程的分类 第 5 页 2. b 2 − ac < 0. 这时，可以重复上面的讨论，只不过得到的φ(x, y) 和ψ(x, y)是一对共 轭的复函数，或者说，偏微分方程(z)的两条特征线都不是实的．于是 ξ = φ(x, y), η = ψ(x, y) 是一对共轭的复变量．这样也能够得到以复变量ξ和η为自变量的方程(M)．进一步引进两个新 的实变量 ρ = ξ + η, σ = i¡ ξ − η ¢ , 于是 ∂ ∂ξ = ∂ ∂ρ + i ∂ ∂σ , ∂ ∂η = ∂ ∂ρ − i ∂ ∂σ . 所以 ∂ 2u ∂ξ∂η = ∂ 2u ∂ρ2 + ∂ 2u ∂σ2 , 方程(M)又可以进一步化为 ∂ 2u ∂ρ2 + ∂ 2u ∂σ2 + Φ2 ³ ρ, σ, u, ∂u ∂ρ , ∂u ∂σ ´ = 0. 这种类型的方程称为椭圆型方程．显然，Laplace方程、Poisson方程和Helmholtz 方程都属于 这种类型． 3. b 2 − ac = 0. 这时，方程(c)一定有重根 dy dx = b a , 因而只能求得一个解，例如，φ(x, y) = C．作变换ξ = φ(x, y)就可以使A = 0．但是， 由(>)式可以断定，一定有B 2 − AC = 0，这意味着B也一定为0．所以，完全可以任意选取另 一个变换，η = ψ(x, y)，只要它和ξ = φ(x, y)彼此独立、即 ∂(ξ, η) ∂(x, y) 6= 0 即可．这样，方程(##)就化为 ∂ 2u ∂η2 + Φ ³ ξ, η, u, ∂u ∂ξ , ∂u ∂η ´ = 0. 这种类型的方程称为抛物型方程．热传导方程就属于这种类型． 以上的讨论是在a和c不恒为0的前提下进行的．在适当选择变换后，总可以使 得A, B, C中有一个(B)或两个(B以及A或C)为0． 而且，事实上，如果再作进一步的变换，还可以把不为0的系数变为1 或−1． 当A = C = 1, B = 0时，方程是椭圆型； A = −C = ±1, B = 0时，方程为双曲型； A = B = 0, C = 1或A = 1, B = C = 0是，方程为抛物型． 如果a和c恒为0．那么，一定有b 6≡ 0．这正是双曲型方程．