§221二阶线性偏微分方程的分类 第6页 综合以上的讨论,可以得出结论: 要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型,只要讨论判别式b2-ac即可. ★如果方程的系数a,b,c为常数,当然偏微分方程一定属于上述三种类型之 ★如果a,b,c是x,y的函数,那么,在xy平面上的一定区域内,一般说来,b2-ac并不会得 保持为恒正、恒负、或恒为0,因此,方程并不能简单地归结为固定的一种类型.换句话 说,方程可能在区域的不同部分属于不同的类型 这时,不妨先求出b2-ac=0即 dy b 的解.这条曲线,称为抛物型曲线,因在此曲线上,方程属于抛物型.整个区域就可能被这条 线分割为两部分,方程分属于椭圆型和双曲型.例如,对于方程 a2u-(1+)8y2 容易求出 因此,此方程的抛物型曲线就是一对双曲线x2-y2=1.在双曲线上,方程属于抛物型.整 个xy平面被这两条曲线分割开.在1-x2+y2>0的部分,方程属于双曲型;在1-x2+y2<0的 部分,方程属于椭圆型 对于多个自变量的偏微分方程,原则上也可以选择适当的自变量变换,把方程中混合二 阶偏导数项的系数变为0.如果其余的(二阶偏导数项的)系数(事实上,可以化为1或-1)全部同 号,则方程为椭圆型:如果其中一个与其余的异号,则方程为双曲型:如果有多个与其余的异 号,则方程为超双曲型;如果有一个或多个为0,则方程为抛物型.当然,除非方程的系数为 常数,否则,自变量变换的具体选择,总还需要具体讨论§22.1 二阶线性偏微分方程的分类 第 6 页 综合以上的讨论，可以得出结论： 要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只要讨论判别式b 2 − ac即可． F 如果方程的系数a, b, c为常数，当然偏微分方程一定属于上述三种类型之一． F 如果a, b, c是x, y的函数，那么，在xy平面上的一定区域内，一般说来，b 2 − ac并不会得 保持为恒正、恒负、或恒为0，因此，方程并不能简单地归结为固定的一种类型．换句话 说，方程可能在区域的不同部分属于不同的类型． 这时，不妨先求出b 2 − ac = 0即 dy dx = b a 的解．这条曲线，称为抛物型曲线，因在此曲线上，方程属于抛物型．整个区域就可能被这条 曲线分割为两部分，方程分属于椭圆型和双曲型．例如，对于方程 ¡ 1 − x 2 ¢∂ 2u ∂x2 − 2xy ∂ 2u ∂x∂y − ¡ 1 + y 2 ¢∂ 2u ∂y2 − 2x ∂u ∂x − 2y ∂u ∂y = 0, 容易求出 b 2 − ac = 1 − x 2 + y 2 . 因此，此方程的抛物型曲线就是一对双曲线x 2 − y 2 = 1．在双曲线上，方程属于抛物型．整 个xy平面被这两条曲线分割开．在1−x 2+y 2 > 0的部分，方程属于双曲型；在1−x 2+y 2 < 0的 部分，方程属于椭圆型． 对于多个自变量的偏微分方程，原则上也可以选择适当的自变量变换，把方程中混合二 阶偏导数项的系数变为0．如果其余的(二阶偏导数项的)系数(事实上，可以化为1或−1)全部同 号，则方程为椭圆型；如果其中一个与其余的异号，则方程为双曲型；如果有多个与其余的异 号，则方程为超双曲型；如果有一个或多个为0，则方程为抛物型．当然，除非方程的系数为 常数，否则，自变量变换的具体选择，总还需要具体讨论．