§22.2线性偏微分方程解法述评 §22.2线性偏微分方程解法述评 在本书中,介绍了二阶线性偏微分方程定解问题的几种主要解法,关于这些解法的解题思 想、应用条件以及理论根据,以前也都分别作过讨论、这里再集中地对它们作一点综合性的评 述,以便于读者有一个横向的比较 1.分离变数法.这是求解线性偏微分方程定解问题的最主要方法.从理论上说,分离变 量法的依据是 Sturm- Liouville型方程的本征值问题.这在第十八章中已作了较系统的阐述,不 再重复.从解题步骤上看,除了留待确定叠加系数的部分定解条件外,要求方程和其余的解条 件都必须是齐次的(因此,如果它们是非齐次的,则必须首先齐次化).这样,对于定解问题中 微分方程的具体形式就有一定的限制,对于所讨论问题的空间区域形状更有明显的限制.这又 涉及正交曲面坐标系的选取(空间区域的边界面必须是正交曲面坐标系的坐标面) 在具体求解时,当然还必须求解相应的常微分方程的本征值问题.除了本书中介绍过的几 个本征值问题外,也还可能会出现其他的特殊函数 2.积分变换方法.这种方法的优点是减少方程的自变量的数目.从原则上说,无论是对 于时间变量,或是空间变量,无论是无界空间,或是有界空间,都可以采用积分变换的方法求 解线性偏微分方程的定解问题.但从实际计算看,就需要根据方程和定解条件的类型,选择最 合适的积分变换.反演问题,也是关系所拟采用的积分变换是否实际可行的关键问题.反演 时涉及的积分很简单,甚至有现成的结果(包括工具书)可供引用,采用积分变换的确可以带来 极大的便利.但反过来说,如果涉及的积分比较复杂,也没有现成的结果(包括工具书)可供 用,那么,反演问题也可以成为积分变换的难点 积分变换方法和分离变量法存在密切的联系.例如,当本征值过渡到连续谱时,分离变量 法就变为相应的积分变换方法 另外,从实用的角度说,如果是有界空间,一般说来,积分变换和分离变量法没有什么差 别,故仍不妨采用分离变量法 积分变换方法也具有分离变量法所没有的优点:它还可以应用于求解非线性偏微分方程 3. Green函数方法.应该说,这种方法具有极大的理论意义.它给出了定解问题的解 和方程的非齐次项以及定解条件之间的关系,因而便于讨论方程的非齐次项或定解条件发生 变化时,解如何相应地变化.而且,不止如此,在讨论本征值问题的普遍性质时,也离不 开 Green函数.只不过在本书中未作具体介绍而已. Green函数方法,已经成为理论物理研究 中的常用方法之 应用 Green函数方法,最重要的是,要能够求出 Green函数的具体形式.尽管 Green函数所 满足的是一种特别简单的定解问题:方程的非齐次项为6函数,定解问题均为齐次,因此,在 少数情形下,能够求得 Green函数的简单表达式.但是,一般说来,要能够求出 Green函数, 仍只限于若干种空间区域形状,和分离变量法没有什么差别 Green函数方法的另一个优点是便于进行近似计算.例如,对于某一类偏微分方程的定解 问题,由于区域形状的限制,不能求出它的 Green函数的解析表达式.但是,如果必要的话, 总还可以求出Gren函数的足够精确的近似解(例如数值解).这样,也就可以进一步求出这 类偏微分方程定解问题的近似解.这在工程上还是具有实际意义的 4.变分法.这个方法具有理论价值和实用价值.在理论上,它可以把不同类型的偏微分 方程定解问题用相同的泛函语言表达出来(当然不同问题中出现的泛函是不同的),或者说,把§22.2 线性偏微分方程解法述评 第 7 页 §22.2 线性偏微分方程解法述评 在本书中，介绍了二阶线性偏微分方程定解问题的几种主要解法，关于这些解法的解题思 想、应用条件以及理论根据，以前也都分别作过讨论、这里再集中地对它们作一点综合性的评 述，以便于读者有一个横向的比较． 1. 分离变数法．这是求解线性偏微分方程定解问题的最主要方法．从理论上说，分离变 量法的依据是Sturm–Liouville型方程的本征值问题．这在第十八章中已作了较系统的阐述，不 再重复．从解题步骤上看，除了留待确定叠加系数的部分定解条件外，要求方程和其余的解条 件都必须是齐次的(因此，如果它们是非齐次的，则必须首先齐次化)．这样，对于定解问题中 微分方程的具体形式就有一定的限制，对于所讨论问题的空间区域形状更有明显的限制．这又 涉及正交曲面坐标系的选取(空间区域的边界面必须是正交曲面坐标系的坐标面)． 在具体求解时，当然还必须求解相应的常微分方程的本征值问题．除了本书中介绍过的几 个本征值问题外，也还可能会出现其他的特殊函数． 2. 积分变换方法．这种方法的优点是减少方程的自变量的数目．从原则上说，无论是对 于时间变量，或是空间变量，无论是无界空间，或是有界空间，都可以采用积分变换的方法求 解线性偏微分方程的定解问题．但从实际计算看，就需要根据方程和定解条件的类型，选择最 合适的积分变换．反演问题，也是关系所拟采用的积分变换是否实际可行的关键问题．反演 时涉及的积分很简单，甚至有现成的结果(包括工具书)可供引用，采用积分变换的确可以带来 极大的便利．但反过来说，如果涉及的积分比较复杂，也没有现成的结果(包括工具书)可供引 用，那么，反演问题也可以成为积分变换的难点． 积分变换方法和分离变量法存在密切的联系．例如，当本征值过渡到连续谱时，分离变量 法就变为相应的积分变换方法． 另外，从实用的角度说，如果是有界空间，一般说来，积分变换和分离变量法没有什么差 别，故仍不妨采用分离变量法． 积分变换方法也具有分离变量法所没有的优点：它还可以应用于求解非线性偏微分方程． 3. Green函数方法．应该说，这种方法具有极大的理论意义．它给出了定解问题的解 和方程的非齐次项以及定解条件之间的关系，因而便于讨论方程的非齐次项或定解条件发生 变化时，解如何相应地变化．而且，不止如此，在讨论本征值问题的普遍性质时，也离不 开Green函数．只不过在本书中未作具体介绍而已．Green函数方法，已经成为理论物理研究 中的常用方法之一． 应用Green函数方法，最重要的是，要能够求出Green函数的具体形式．尽管Green函数所 满足的是一种特别简单的定解问题：方程的非齐次项为δ函数，定解问题均为齐次，因此，在 少数情形下，能够求得Green函数的简单表达式．但是，一般说来，要能够求出Green函数， 仍只限于若干种空间区域形状，和分离变量法没有什么差别． Green函数方法的另一个优点是便于进行近似计算．例如，对于某一类偏微分方程的定解 问题，由于区域形状的限制，不能求出它的Green函数的解析表达式．但是，如果必要的话， 总还可以求出Green函数的足够精确的近似解(例如数值解)．这样，也就可以进一步求出这一 类偏微分方程定解问题的近似解．这在工程上还是具有实际意义的． 4. 变分法．这个方法具有理论价值和实用价值．在理论上，它可以把不同类型的偏微分 方程定解问题用相同的泛函语言表达出来(当然不同问题中出现的泛函是不同的)，或者说，把