§22.2线性偏微分方程解法述评 第8页 不同的物理问题用相同的泛函语言表达出来.正是由于这个原因,变分或泛函语言已经成为表 述物理规律的常用工具之一.在实用上,变分法,又提供了一种近似计算的好办法.有效地利 用物理知识,灵活巧妙地选取试探函数,可以使计算大为简化.在第二十一章中,我们已经看 到过这样的例子.在物理学中,过去或现在,变分法都是常用的一种近似计算方法.例如,在 原子和分子光谱的计算中,就广泛地采用了变分法 5.对于二维和三维 Laplace方程的边值问题,也还可以将解表示为特殊的积分公式,对 于二维 Laplace方程,它的解一定是解析函数的实部或虚部,因此,可以采用复变函数的方法 求解.例如,圆内或上半平面的第一类边值问题, Laplace方程的解就可以表示为 Poisson积 分(见37节,也可以从 Green函数方法得到,见20.4节).三维 Laplace方程第一类边值问题的 解,也可以表示为沿边界面的积分(见20.5节) 除了上面提到的这几种方法外,还有 6.保角变换.这种方法的理论基础,是解析函数所代表的变换的保角性.本书复变函数 部分的25节已作过非常初步的介绍,这种解法,主要用于二维 Laplace方程或 Poisson方程的 边值问题,因为在保角变换下,前者的形式不变,后者也只是非齐次项作相应的改变.粗略 地说,运用保角变换,可以把“不规则”的边界形状化为规则的边界形状(因为难以在“不规 则”和“规则”之间划定一个界限),例如,可以把多边形化为上半平面或单位圆内.再结合 上半平面或圆内的 Poisson公式,就能直接求出二维 Laplace方程的解.运用保角变换,的确可 以解决一些有意义的物理问题或工程问题,例如,有限大小尺寸的平行板电容器的边缘效应问 题,空气动力学中的机翼问题,以及其他一些流体力学问题.又如,应用保角变换方法,可以 把偏心圆化为同心圆 7.对于双曲型方程的定解问题,也存在一些特殊的解法,例如平均值法,降维法,等 等.在理论上说,双曲型方程的解的存在唯一性,可以通过所谓 Cauchy型边界条件(即要求解 在边界上同时满足给定的函数值与法向微商值得到保证.相应地,双曲型方程,就可以采用 特征线法(或称 Riemann方法)求解 ①椭圆型方程就不同.对于椭圆型方程,只要指定未知函数在边界上的函数值或法向微商值,就足以唯一地确定 解.同时指定未知函数在边界上的函数值和法向微商值,反而是过分了,反而会得造成问题无解§22.2 线性偏微分方程解法述评 第 8 页 不同的物理问题用相同的泛函语言表达出来．正是由于这个原因，变分或泛函语言已经成为表 述物理规律的常用工具之一．在实用上，变分法，又提供了一种近似计算的好办法．有效地利 用物理知识，灵活巧妙地选取试探函数，可以使计算大为简化．在第二十一章中，我们已经看 到过这样的例子．在物理学中，过去或现在，变分法都是常用的一种近似计算方法．例如，在 原子和分子光谱的计算中，就广泛地采用了变分法． 5. 对于二维和三维Laplace方程的边值问题，也还可以将解表示为特殊的积分公式．对 于二维Laplace方程，它的解一定是解析函数的实部或虚部，因此，可以采用复变函数的方法 求解．例如，圆内或上半平面的第一类边值问题，Laplace方程的解就可以表示为Poisson积 分(见3.7节，也可以从Green函数方法得到，见20.4节)．三维Laplace方程第一类边值问题的 解，也可以表示为沿边界面的积分(见20.5节)． 除了上面提到的这几种方法外，还有： 6. 保角变换．这种方法的理论基础，是解析函数所代表的变换的保角性．本书复变函数 部分的2.5节已作过非常初步的介绍．这种解法，主要用于二维Laplace 方程或Poisson方程的 边值问题，因为在保角变换下，前者的形式不变，后者也只是非齐次项作相应的改变．粗略 地说，运用保角变换，可以把“不规则”的边界形状化为规则的边界形状(因为难以在“不规 则”和“规则”之间划定一个界限)，例如，可以把多边形化为上半平面或单位圆内．再结合 上半平面或圆内的Poisson公式，就能直接求出二维Laplace方程的解．运用保角变换，的确可 以解决一些有意义的物理问题或工程问题，例如，有限大小尺寸的平行板电容器的边缘效应问 题，空气动力学中的机翼问题，以及其他一些流体力学问题．又如，应用保角变换方法，可以 把偏心圆化为同心圆． 7. 对于双曲型方程的定解问题，也存在一些特殊的解法，例如平均值法，降维法，等 等．在理论上说，双曲型方程的解的存在唯一性，可以通过所谓Cauchy 型边界条件(即要求解 在边界上同时满足给定的函数值与法向微商值)得到保证①．相应地，双曲型方程，就可以采用 特征线法(或称Riemann方法)求解． ①椭圆型方程就不同．对于椭圆型方程，只要指定未知函数在边界上的函数值或法向微商值，就足以唯一地确定 解．同时指定未知函数在边界上的函数值和法向微商值，反而是过分了，反而会得造成问题无解．