§223非线性偏微分方程问题 第9页 §223非线性偏微分方程问题 本书中讨论的偏微分方程定解问题,全部都是由线性方程和线性定解条件构成的.这一类 问题的解法特别简单,因为可以援用叠加原理.从实际问题看,这是和物理学的发展状况密切 相关的.迄今为止,线性近似仍然是物理学中经常采用的最基本的近似.例如,在 Newton力 学中,质点的加速度与外力成正比,比例系数(质点的质量)是常数,与质点运动的速度大小无 关.在弹性力学中,我们首先注意的是所谓弹性限度内的规律,即 Hooke定律,应力与应变成 正比,比例系数(弹性系数)是物质常数,与应变的大小无关,又如,在涉及输运过程的分子动 理论中,也是着重讨论相对于平衡状态的线性偏离:由温度的分布不均匀而产生热传导现象, 热流密度与温度梯度成正比,比例系数(导热率)是物质常数,与温度高低无关;由物质密度的 分布不均匀而产生扩散现象,物质流密度(单位时间通过单位面积的质量)与密度梯度成正比, 比例系数(扩散系数)是常数,与物质密度的高低无关.在电磁学中,Ohm定律说的也是电流密 度与电场强度成正比,比例系数(电导率)是物质常数,与电场强度的高低无关.这类例子,在 物理学中,可以说俯拾皆是.相应地,在描写连续介质或场的运动的数学物理方程中,就出现 了波动方程、热传导方程和 Laplace方程、 Poisson方程、 Helmholtz方程等线性偏微分方程 以及各种类型的线性定解条件.正是由于采用了线性近似,所以,得到的方程形式具有普适 性.无论是弹性体中发生的纵振动或横振动,也无论是电磁场随时间、空间的变化与分布,都 遵从同样形式的波动方程,介质的性质只体现在波的传播速度上.无论是热传导过程,或是扩 散过程,也都遵从同样的热传导方程,不同的过程,以及有关的介质性质,同样也只表现在方 程中的常数(扩散率)上 上面所有各种现象的线性描述,当然都只是在一定限度内的近似.随着科学技术的发 展,随着人们对于自然规律认识的深化,不可避免地会超出线性近似的限制.研究各种极端条 件(例如,高温、高压、高密度……)下的物理过程,研究物理过程随时间的长期演变,或是 在空间上的大尺度范围内的变化,都使得非线性效应变得不可忽略.其实,在传统的物理学中 就可以找到这样的例子.如果介质表面的温度和环境温度相差不大时,单位时间内通过单位表 面积散出的热量与温差成正比( Newton散热定律),但如果介质表面的温度T足够高,热辐射的 效应不可忽略,以辐射方式散出的热量便与r4成正比( Stefan-Boltzmann定律) 下面再讨论一下无穷直线上的波动问题.正如第十三章中指出的,波动方程 a- 的解 u(a, t)=f(ar-at)+g(r+at 表示的是在两个方向上独立传播的行波.当我们只关注于在一个方向上的行波,例 如,u(x,t)=f(x-at),便有一阶偏微分方程 这个方程还可以改写成连续性方程 at ar=0, 其中的j=αu表示“流”(粒子流、能量流·…)的强度.如果要考虑非线性的影响,下一级 的近似便会有u2项,§22.3 非线性偏微分方程问题 第 9 页 §22.3 非线性偏微分方程问题 本书中讨论的偏微分方程定解问题，全部都是由线性方程和线性定解条件构成的．这一类 问题的解法特别简单，因为可以援用叠加原理．从实际问题看，这是和物理学的发展状况密切 相关的．迄今为止，线性近似仍然是物理学中经常采用的最基本的近似．例如，在Newton力 学中，质点的加速度与外力成正比，比例系数(质点的质量)是常数，与质点运动的速度大小无 关．在弹性力学中，我们首先注意的是所谓弹性限度内的规律，即Hooke定律，应力与应变成 正比，比例系数(弹性系数)是物质常数，与应变的大小无关．又如，在涉及输运过程的分子动 理论中，也是着重讨论相对于平衡状态的线性偏离：由温度的分布不均匀而产生热传导现象， 热流密度与温度梯度成正比，比例系数(导热率)是物质常数，与温度高低无关；由物质密度的 分布不均匀而产生扩散现象，物质流密度(单位时间通过单位面积的质量)与密度梯度成正比， 比例系数(扩散系数) 是常数，与物质密度的高低无关．在电磁学中，Ohm定律说的也是电流密 度与电场强度成正比，比例系数(电导率)是物质常数，与电场强度的高低无关．这类例子，在 物理学中，可以说俯拾皆是．相应地，在描写连续介质或场的运动的数学物理方程中，就出现 了波动方程、热传导方程和Laplace方程、Poisson方程、Helmholtz方程等线性偏微分方程， 以及各种类型的线性定解条件．正是由于采用了线性近似，所以，得到的方程形式具有普适 性．无论是弹性体中发生的纵振动或横振动，也无论是电磁场随时间、空间的变化与分布，都 遵从同样形式的波动方程，介质的性质只体现在波的传播速度上．无论是热传导过程，或是扩 散过程，也都遵从同样的热传导方程，不同的过程，以及有关的介质性质，同样也只表现在方 程中的常数(扩散率)上． 上面所有各种现象的线性描述，当然都只是在一定限度内的近似．随着科学技术的发 展，随着人们对于自然规律认识的深化，不可避免地会超出线性近似的限制．研究各种极端条 件(例如，高温、高压、高密度· · · · · ·)下的物理过程，研究物理过程随时间的长期演变，或是 在空间上的大尺度范围内的变化，都使得非线性效应变得不可忽略．其实，在传统的物理学中 就可以找到这样的例子．如果介质表面的温度和环境温度相差不大时，单位时间内通过单位表 面积散出的热量与温差成正比(Newton散热定律)，但如果介质表面的温度T足够高，热辐射的 效应不可忽略，以辐射方式散出的热量便与T 4成正比(Stefan-Boltzmann定律)． 下面再讨论一下无穷直线上的波动问题．正如第十三章中指出的，波动方程 ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0 的解 u(x, t) = f(x − at) + g(x + at) 表示的是在两个方向上独立传播的行波．当我们只关注于在一个方向上的行波，例 如，u(x, t) = f(x − at)，便有一阶偏微分方程 ∂u ∂t + a ∂u ∂x = 0. 这个方程还可以改写成连续性方程 ∂u ∂t + ∂j ∂x = 0, 其中的j = au表示“流”(粒子流、能量流· · · · · ·)的强度．如果要考虑非线性的影响，下一级 的近似便会有u 2项， j = au + α 2 u 2