§223非线性偏微分方程问题 第10页 于是,波动方程就变为 at ax 方程中就出现了非线性项.如果同时还存在色散(见13.6节),流的强度变为 于是,波动方程又变为 +ou 为了将方程(2221)的形式化简,可以进一步作变换 At B 就可以得到标准的KdⅤ方程( Korteweg-de Vries,1895年), 这是典型的非线性偏微分方程之一它可以描写浅水波的传播 在非线性偏微分方程中,经常提到的典型方程还有sin- Gordon方程 或 02ua2 SIn ll 和非线性 Schrodinger方程 at 2m ar2 前者最早出现在19世纪的几何问题中 非线性方程的最大特点,就是解不再具有线性叠加性质.例如,即使对于齐次的非线性方 程,如果u是方程的解,它的常数倍Aa也不一定是方程的解;如果u1和u2是方程的解,它们的 和α1+α2,一般说来,却并不是方程的解.因此,求解非线性方程,需要特殊的技巧.而且, 通常只能根据问题的背景,求得所需要的特解.下面就简单介绍KdV方程的几个特解 为了叙述的方便,我们不妨撇开KdV方程的上述背景,而是简单地把和r分别理解为空 间和时间变量.最容易求的是 形式的行波解,因为这样可以转化为常微分方程的求解问题,令η=5-c,于是 7=-an 所以 + 6f(m)=0. 积分一次,有 d-f 3[f(m)§22.3 非线性偏微分方程问题 第 10 页 于是，波动方程就变为 ∂u ∂t + a ∂u ∂x + αu ∂u ∂x = 0. 方程中就出现了非线性项．如果同时还存在色散(见13.6节)，流的强度变为 j = au + β ∂ 2u ∂x2 + α 2 u 2 , 于是，波动方程又变为 ∂u ∂t + a ∂u ∂x + β ∂ 3u ∂x3 + αu ∂u ∂x = 0. 为了将方程(22.21)的形式化简，可以进一步作变换 τ = At, ξ = A(x − at), v = Bu, 取 A 2 = 1 β , B = − 6 α , 就可以得到标准的KdV方程(Korteweg-de Vries，1895年)， ∂v ∂τ + ∂ 3 v ∂ξ3 − 6v ∂v ∂ξ = 0. 这是典型的非线性偏微分方程之一．它可以描写浅水波的传播． 在非线性偏微分方程中，经常提到的典型方程还有sin-Gordon方程 ∂ 2u ∂x∂t = sin u 或 ∂ 2u ∂x2 − ∂ 2u ∂t2 = sin u 和非线性Schr¨odinger方程 i ∂u ∂t = − } 2 2m ∂ 2u ∂x2 + α|u| 2 u. 前者最早出现在19世纪的几何问题中． 非线性方程的最大特点，就是解不再具有线性叠加性质．例如，即使对于齐次的非线性方 程，如果u是方程的解，它的常数倍Au也不一定是方程的解；如果u1和u2是方程的解，它们的 和u1 + u2，一般说来，却并不是方程的解．因此，求解非线性方程，需要特殊的技巧．而且， 通常只能根据问题的背景，求得所需要的特解．下面就简单介绍KdV方程的几个特解． 为了叙述的方便，我们不妨撇开KdV方程的上述背景，而是简单地把ξ和τ分别理解为空 间和时间变量．最容易求的是 v(ξ, τ ) = f(ξ − cτ ) 形式的行波解，因为这样可以转化为常微分方程的求解问题．令η = ξ − cτ，于是 ∂v ∂τ = −c df dη , ∂v ∂ξ = df dη , 所以 −c df dη + d 3 f dη 3 − 6f(η) df dη = 0. 积分一次，有 −cf(η) + d 2 f dη 2 − 3 £ f(η) ¤2 = A