§223非线性偏微分方程问题 第11页 A为积分常数.两端乘以,再积分,就得到 U2+2-o2=4/(+B B是第二个积分常数.如果我们加上边界条件 J(n), dn' d, 则可定出A=B=0.于是 df12 d [f(n)22f()+d, ∫√2f+c 这里,一定有2f(m)+c≥0.作变换√2f+c=vc,方程就化为 C1-2=d 先考虑上式中取负号的情形.解之即得 m即C+ -√2f+c evc(n-no) 进一步化简,就得到解 f(E-cT)=-2Sech2 Vc (5-5o)-c(r-7o 这是一个行波解,在r>7时的任意一个时刻,仍然保持r=7时刻的波形,只不过向右平移 了c(τ-πo)·在非线性方程中,常把这种不受干扰地传播的波称为孤波,或孤[立]子.(V)式的 波形只有一个极值,所以称为单孤波或单孤子.图22.1中给出了f(-cr)的图形 图22.1单孤波 值得注意,与线性波动方程不同,KdV方程的孤波解的传播速度c并不是一个确定的 常数,而是任意常数,只要大于0即可.对于任意一个c,KdV方程有一个单孤波解.所 以,KdV方程有无穷多个单孤波解 现在再讨论(#)式中取正号的情形.重复上面的步骤,又可以求得 f(-c)=2mh2 -6) 应该说,这只是一个形式解,它在(一50)-c(r-70)=0具有奇异性§22.3 非线性偏微分方程问题 第 11 页 A为积分常数．两端乘以 df dη ，再积分，就得到 − c 2 £ f(η) ¤2 + 1 2 h df dη i2 − £ f(η) ¤3 = Af(η) + B, B是第二个积分常数．如果我们加上边界条件 η → ±∞ 时， f(η), df dη , d 2 f dη 2 均 → 0, 则可定出A = B = 0．于是 h df dη i2 = £ f(η) ¤2 £ 2f(η) + c ¤ , 即 ± df f √ 2f + c = dη. 这里，一定有2f(η) + c ≥ 0．作变换 √ 2f + c = √ cw，方程就化为 ∓ 2 √ c dw 1 − w2 = dη. (#) 先考虑上式中取负号的情形．解之即得 1 √ c ln 1 + w 1 − w = η − η0 即 √ c + √ 2f + c √ c − √ 2f + c = e √c(η−η0) . 进一步化简，就得到解 f(ξ − cτ ) = − c 2 sech2 ½√ c 2 h¡ ξ − ξ0 ¢ − c(τ − τ0 ¢ i¾ . (O) 这是一个行波解，在τ > τ0时的任意一个时刻，仍然保持τ = τ0 时刻的波形，只不过向右平移 了c(τ − τ0)．在非线性方程中，常把这种不受干扰地传播的波称为孤波，或孤[立]子．(O)式的 波形只有一个极值，所以称为单孤波或单孤子．图22.1中给出了f(ξ − cτ )的图形． 图22.1 单孤波 值得注意，与线性波动方程不同，KdV方程的孤波解的传播速度c并不是一个确定的 常数，而是任意常数，只要大于0即可．对于任意一个c，KdV方程有一个单孤波解．所 以，KdV方程有无穷多个单孤波解． 现在再讨论(#)式中取正号的情形．重复上面的步骤，又可以求得 f(ξ − cτ ) = c 2 csch2 ½√ c 2 h¡ ξ − ξ0 ¢ − c(τ − τ0 ¢ i¾ . 应该说，这只是一个形式解，它在 ¡ ξ − ξ0 ¢ − c ¡ τ − τ0 ¢ = 0具有奇异性．