Vol.28 No.7 刘玉英等：闪光法测量半透明材料热扩散率的理论研究 ·683。 需变换为拉普拉斯域内的量纲为1形式.利用热 见图2，将方程(15)在节点P的控制容积内积分， 四端网络法1！求解以拉普拉斯变量p为参数的 得到的离散方程可表示为： 方程(10)，可得到0-山： [I(e,“,)-I(w,】= 0(0) 1001ay01= k产A-kR5a (16) (0 同样，边界条件式(6)的离散形式为： (11) 1(0,5)=e1”2T0)+ 其中，0(0)，中(0)分别为试样正面的温度与热流 密度的拉普拉斯变换，0(1)，(1)分别为试样背 2wl(0,k)k,马>0(17a) 面的温度与热流密度的拉普拉斯变换，H=hL/ Tk=10 入，A,B,C,D的求解参见文献I0.试样背面温 1(L,5)=e2n2(L)+ 元 度的拉普拉斯变换为： 02 0(1)=(0)/H(A+D+BH)+C(12) w(L,)k,0(17b) Tk=,0 对上式再进行拉普拉斯数值反变换，即可得到 时间域内的试样背面温度响应曲线 式中，wk称为权重系数，满足 wk=4红，与离 基于控制容积的离散坐标数值解 散坐标系列凸的值相对应，由所用的积分方 3 案4确定.在某一离散方向凸上，控制体P 将方程(4)和(7)代入能量方程(1)并令S= 的辐射强度I(P,凸)与控制容积界面辐射强度 kaG(x,t)-4kan2oT(x,t),可得： I(w,凸)和I(e,凸)相关联通常可以写为： aT(x,t2=λ Pcp at T(xD+5 ax2 (13) I(P,)=fI(e,5)+(1-f)I(w,凸)，>0 (18a) 因此能量方程可以看作是具有源项的一维瞬态导 热方程，用控制容积法1习求解网格划分参见图 I(P,5)=fI(w,)+(1-f)I(e,),0 2.采用全隐格式处理非稳态效应1，并对辐射 (18b) 源项进行了如下线性化处理： 式中，∫为差分因子，由所选差分格式确定.迭代 S=Sc+SpTp (14) 求解式(16)~(17)，并利用式(18)即可求得各个 其中，Sc=kaGp,Sp=-4kan2oT,下标P表示 节点的辐射强度值，进而得到投射辐射： 节点P. Gp- 会w1p,) (19) 至此，基于控制容积的离散坐标法即可得到试样 背面温度随时间变化的曲线. 4结果与讨论 图2控制容积法的网格划分 根据所建立的闪光法测量半透明材料热扩散 Fig.2 Grid system of control vol ume method 率的辐射导热耦合换热数学模型，对试样背面 辐射传递方程式(5)及其边界条件式(6)的求 的温度响应进行数值计算与半解析解分析.计算 解采用离散坐标法？，将辐射强度在红立体角 假定激光能量Q=8600W·mˉ2，激光脉冲时间 内的连续分布用一系列固定方向上的离散值来代 宽度tr为1ms.试样吸收系数、导热系数、折射 替，并将辐射强度对整个立体角空间的积分用数 率、厚度、辐射边界条件及试样表面的热损失等的 值求和代替，于是辐射传递方程(5)在凸方向上 计算工况如表1所示.图3给出了黑体表面条件 的离散形式可表示为： 下的试样背面量纲为1温度6的变化曲线，图4 x）-k,n2TD-ka1(xt) 给出了全反射表面条件下的温度响应.图中 dx DOM(discrete ordinate method)代表基于控制容 (15) 积的离散坐标法，TQM(thermal quadrupoles 其中，=1,23，N,N为角度方向离散数.参 method)代表热四端网络法.需变换为拉普拉斯域内的量纲为 1 形式 .利用热 四端网络法[ 11] 求解以拉普拉斯变量 p 为参数的 方程(10),可得到[ 10 11] : θ - (0) - (0) = 1 0 H 1 A B C D 1 0 H 1 θ - (1) - (1) (11) 其中, θ - (0), - (0)分别为试样正面的温度与热流 密度的拉普拉斯变换 , θ - (1), - (1)分别为试样背 面的温度与热流密度的拉普拉斯变换, H =hL/ λ, A ,B , C , D 的求解参见文献[ 10] .试样背面温 度的拉普拉斯变换为 : θ - (1)= - (0)/[ H(A +D +BH)+C] (12) 对上式再进行拉普拉斯数值反变换[ 10] ,即可得到 时间域内的试样背面温度响应曲线 . 3 基于控制容积的离散坐标数值解 将方程(4)和(7)代入能量方程(1)并令 S = k a G(x , t)-4k an 2 σT(x , t)4 , 可得 : ρcp T(x , t) t =λ 2 T(x , t) x 2 +S (13) 因此能量方程可以看作是具有源项的一维瞬态导 热方程 ,用控制容积法[ 13] 求解, 网格划分参见图 2 .采用全隐格式处理非稳态效应[ 13] , 并对辐射 源项进行了如下线性化处理 [ 13] : S =SC +SPT P (14) 其中, S C =ka GP , SP =-4k an 2 σT 3 P ,下标 P 表示 节点P . 图 2 控制容积法的网格划分 Fig.2 Grid system of control volume method 辐射传递方程式(5)及其边界条件式(6)的求 解采用离散坐标法[ 12] , 将辐射强度在 4π立体角 内的连续分布用一系列固定方向上的离散值来代 替,并将辐射强度对整个立体角空间的积分用数 值求和代替 ,于是辐射传递方程(5)在 μj 方向上 的离散形式可表示为 : μj I(x , μj , t) x =k a n 2 σT 4(x , t) π -ka I(x , μj , t) (15) 其中 , j =1 , 2 , 3 , …, N , N 为角度方向离散数.参 见图 2 , 将方程(15)在节点 P 的控制容积内积分 , 得到的离散方程可表示为 : μj[ I(e , μj)-I(w , μj)] = k a n 2 σT 4 P π Δx -ka I(P , μj)Δx (16) 同样 ,边界条件式(6)的离散形式为 : I(0 , μj)=ε1 n 2 σT 4(0) π + ρ1 π ∑ N k =1 , μk <0 wkI(0 , μk)μk , μj >0 (17a) I(L , μj)=ε2 n 2 σT 4(L) π + ρ2 π ∑ N k =1 , μk >0 wkI(L , μk)μk , μj <0 (17b) 式中 , wk 称为权重系数, 满足 ∑ N k =1 wk =4π, 与离 散坐标系列 μj 的值相对应 , 由所用的积分方 案[ 14 15] 确定 .在某一离散方向 μj 上, 控制体 P 的辐射强度 I(P , μj)与控制容积界面辐射强度 I(w , μj)和 I(e , μj)相关联,通常可以写为: I(P , μj)=fI(e , μj)+(1 -f)I(w , μj), μj >0 (18a) I(P , μj)=fI(w , μj)+(1 -f)I(e , μj), μj <0 (18b) 式中, f 为差分因子, 由所选差分格式确定.迭代 求解式(16)～ (17),并利用式(18)即可求得各个 节点的辐射强度值, 进而得到投射辐射 : GP = ∑ N j =1 wjI(P , μj) (19) 至此, 基于控制容积的离散坐标法即可得到试样 背面温度随时间变化的曲线. 4 结果与讨论 根据所建立的闪光法测量半透明材料热扩散 率的辐射-导热耦合换热数学模型 , 对试样背面 的温度响应进行数值计算与半解析解分析 .计算 假定激光能量 Qf =8 600 W·m -2 ,激光脉冲时间 宽度 tf 为 1 ms .试样吸收系数、导热系数、折射 率、厚度、辐射边界条件及试样表面的热损失等的 计算工况如表 1 所示 .图 3 给出了黑体表面条件 下的试样背面量纲为 1 温度 θ的变化曲线 , 图 4 给出了全反射表面条件下的温度响应 .图中 DOM (discrete ordinate method)代表基于控制容 积的 离散 坐 标法 , TQM (thermal quadrupoles method)代表热四端网络法. Vol.28 No.7 刘玉英等:闪光法测量半透明材料热扩散率的理论研究 · 683 ·