。682· 北京科技大学学报 2006年第7期 持热平衡.在初始时刻试样正面受到激光脉冲的 照射，其温度分布由一维瞬态导热与辐射耦合换 2。IL,,1)r'a,K0(6b) 热能量方程给出41？： 其中，n为材料折射率，e1,2和P1,P2分别为两 (D2ge(1)2x(D (1) 边界面的发射率与反射率.由于边界面不透明 所以满足c1十P1=1,e2十P2=1.结合边界条件 其中，P是介质密度，c。是介质比热容，入为材料 (6)求解方程(5)得到介质内的辐射强度分布之 热导率，T是温度分布，4与9：分别为导热热流 后，即可求得辐射热流密度的散度： 密度与辐射热流密度，x和t分别为空间位置坐 标与时间坐标.问题的初始条件可写为： :D-k4n2(x,厂G(x,1】（7） d 9e(x,0)=0(t=0) (2a) 其中，G(x,t)为投射辐射，且满足G(x,t)= +1 T(x,0)=T0(1=0) (2b) I(x Ddu. 假定试样在两边界面上具有辐射与对流热损失， 用综合传热系数h来描述，则边界条件可写为： 2热四端网络解 9(0,t)+9.(0.1)= 热四端网络法山是求解线性偏微分方程的 -MT0,t)-Td+g(x=0)(3a) 一种方法，对方程(1)进行量纲为1化处理可 qe (L,t)+q:(L,t)=h[T(L,t)-Tol (x=L) 得10-， (3b) a0 0 to To dgr =2*2-Np1a2 (0z*<1,t>0) 其中，T(0,t),T(L,t)分别为时刻t时试样正面 及背面的温度，9：是激光脉冲热流密度，由激光 (8) 能量与脉冲宽度及脉冲形状决定.在脉冲时间宽 式中量纲为1温度0=T*一To=(T-To)/ 度：范围内，激光脉冲的热流密度与激光能量 (Q/P℃pL),量纲为1时间t=(WPc)t/L2,量 Q:有关，即q=Q/t:当时间t大于脉冲时间宽 纲为1尺度z*=x/L,光学厚度t0=kL,辐射 度t:时激光脉冲热流密度为零，即q=0. 导热参数Np1=冰a/4n2oT0,量纲为1导热热流 求解方程(1)~(3)即可得到试样内部或其背 密度q=一入T,量纲为1辐射热流密度g 面的瞬态温度分布.其中导热热流密度q:由傅 利叶定律求解： 9x1)=-λ0T.2 一4n量纲为1辐射热流密度由辎射传递 x (4) 方程(5)的指数核近似及相关简化得到01： 辐射热流密度9：由辐射传递方程求解，假定材料 9(z'=1+0)e-11)e:- 不散射（即散射系数k=O,此时衰减系数k。与 吸收系数k。相等)，且辐射特征不随光谱变化，任 。e-e-+ 一时刻的一维辐射传递方程叫可表示为： u-k,n2aTxD-k,1x,队，） 0z'ep(-(e'-zd:'- ToJo x π (5) 0ea-e-E'91 其中，I为辐射强度：牡为极角0的方向余弦（参 式中，t=3t0/2,1*=π1/(4n2oTd),1*+(0)和 见图1)：ka为吸收系数；σ为斯蒂芬一玻耳兹曼常 I一(1)是辐射边界条件(6)的量纲为1形 数，o=5.6703X108W/(m2K4).假定试样边 式10-1 界面不透明，且具有漫发射或漫反射的辐射特性， 为求解量纲为1能量方程式(8)，对其两次微 则辐射边界条件可写为： 分，并引入温度的拉普拉斯变换，于是得到拉普拉 10.k,1)=e1naT(0D+ 斯求解域内的四阶常微分方程： -+++r-0 d0 2P1,I(0.',t)严'd',0(6a) 1(L,k1)=e2n2aT(L)+ (10) π 其中，N1=3Np/2.同理，边界条件(2)和(3)也持热平衡 .在初始时刻试样正面受到激光脉冲的 照射, 其温度分布由一维瞬态导热与辐射耦合换 热能量方程给出[ 4 12] : ρcp T(x , t) t =- qc(x , t) x - qr(x , t) x (1) 其中, ρ是介质密度 , cp 是介质比热容 , λ为材料 热导率, T 是温度分布, qc 与 qr 分别为导热热流 密度与辐射热流密度, x 和 t 分别为空间位置坐 标与时间坐标.问题的初始条件可写为: qc(x , 0)=0 (t =0) (2a) T(x , 0)=T0 (t =0) (2b) 假定试样在两边界面上具有辐射与对流热损失, 用综合传热系数 h 来描述 ,则边界条件可写为 : qc(0 , t)+qr(0 , t)= -h[ T(0 , t)-T0] +qf (x =0) (3a) qc(L , t)+qr(L , t)=h[ T(L , t)-T0] (x =L) (3b) 其中 , T(0 , t), T(L , t)分别为时刻 t 时试样正面 及背面的温度, qf 是激光脉冲热流密度, 由激光 能量与脉冲宽度及脉冲形状决定 .在脉冲时间宽 度 tf 范围内 , 激光脉冲的热流密度与激光能量 Qf 有关, 即 qf =Qf/ tf ;当时间 t 大于脉冲时间宽 度tf 时激光脉冲热流密度为零 ,即 qf =0 . 求解方程(1)～ (3)即可得到试样内部或其背 面的瞬态温度分布 .其中导热热流密度 qc 由傅 利叶定律求解: qc(x , t)=-λ T(x , t) x (4) 辐射热流密度 qr 由辐射传递方程求解 ,假定材料 不散射(即散射系数 k s =0 , 此时衰减系数 k e 与 吸收系数 k a 相等),且辐射特征不随光谱变化 ,任 一时刻的一维辐射传递方程[ 12] 可表示为 : μ I(x , μ, t) x =k a n 2 σT 4(x , t) π -k a I(x , μ, t) (5) 其中, I 为辐射强度;μ为极角 θ的方向余弦(参 见图 1);ka 为吸收系数 ;σ为斯蒂芬-玻耳兹曼常 数, σ=5.670 3 ×10 -8 W/(m 2·K 4).假定试样边 界面不透明,且具有漫发射或漫反射的辐射特性, 则辐射边界条件可写为: I(0 , μ, t)=ε1 n 2 σT 4(0 , t) π + 2ρ1∫ 0 -1 I(0 , μ′, t)μ′d μ′, μ>0 (6a) I(L , μ, t)=ε2 n 2 σT 4(L , t) π + 2 ρ2∫ 1 0 I(L , μ′, t)μ′dμ′, μ<0 (6b) 其中, n 为材料折射率 , ε1 , ε2 和 ρ1 , ρ2 分别为两 边界面的发射率与反射率 .由于边界面不透明, 所以满足 ε1 +ρ1 =1 , ε2 +ρ2 =1 .结合边界条件 (6)求解方程(5)得到介质内的辐射强度分布之 后,即可求得辐射热流密度的散度 : qr(x , t) x =k a[ 4n 2 σT 4(x , t)-G(x , t)] (7) 其中 , G(x , t)为投射辐射 , 且满足 G(x , t)= 2π∫ +1 -1 I(x , μ, t)d μ. 2 热四端网络解 热四端网络法[ 11] 是求解线性偏微分方程的 一种方法 , 对方程(1)进行量纲为 1 化处理可 得[ 10 11] : θ t ＊ = 2θ z ＊2 - τ0 T0 Np1 q ＊ r z ＊ (0 <z ＊ <1 , t ＊>0) (8) 式中量纲为 1 温度 θ=T ＊ -T ＊ 0 =(T -T 0)/ (Qf/ ρcp L),量纲为 1 时间 t ＊=(λ/ ρcp)t/ L 2 ,量 纲为 1 尺度 z ＊ =x/ L ,光学厚度 τ0 =k aL ,辐射 导热参数 Np1 =λk a/4 n 2 σT 3 0 , 量纲为 1 导热热流 密度 q ＊ c =-λ ·T ＊ ·x ＊ , 量纲为 1 辐射热流密度 q ＊ r = qr 4 n 2 σT 4 0 .量纲为 1 辐射热流密度由辐射传递 方程(5)的指数核近似及相关简化得到[ 10 11] : q ＊ r (z ＊)=I ＊+(0)e -τz ＊ -I ＊-(1)e -τ(1-z ＊)- 1 4 (e -τz ＊ -e -τ(1 -z ＊))+ τ T 0∫ z ＊ 0 θ(z′)exp(-τ(z ＊ -z′))dz′- τ T0∫ 1 z ＊ θ(z′)ex p(-τ(z′-z ＊))dz′ (9) 式中, τ=3 τ0/2 , I ＊ =πI/(4 n 2 σT 4 0), I ＊+(0)和 I ＊-(1)是辐 射边界条 件(6)的量纲 为 1 形 式[ 10 11] . 为求解量纲为 1 能量方程式(8),对其两次微 分,并引入温度的拉普拉斯变换,于是得到拉普拉 斯求解域内的四阶常微分方程 : d 4 θ - dz ＊4 - p +2 τ2 N′p1 +τ2 d 2θ dz ＊2 +pτ2θ=0 (10) 其中 , N′p1 =3 Np1/2 .同理, 边界条件(2)和(3)也 · 682 · 北 京 科 技 大 学 学 报 2006 年第 7 期