§3可积条件 1.证明:若T是T增加若干个分点后所得的分割,则∑Ax1≤∑Ax 2.证明:若∫在b]上可积,[月<[,则f在[a,月上也可积 3.设∫,g均为定义在[ab]上的有界函数证明:若仅在[ab]中有限个点处f(x)≠g(x) 则当f在,小上可积时,g在上也可积,且∫(k=( 4.设f在[ab]上有界,{an}c[]man=c证明:若∫在[ab]上只有a(n=12 为其间断点,则∫在[ab]上可积 5.证明:若∫在区间△上有界,则 S/()-m(x)=s/()-(x §4定积分的性质 1.证明:若与g都在[小上可积,则∑/()k(n)x=()(x,其中 5,是T所属小区间△中的任意两点,t=12,…,n 2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小: (1)xax与[x2dx (2)|2xdx与2 sin xdx 3.证明下列不等式 (1)一< (2)1<[edx<e; (3)1< (4)3√e< In dx<6 4.设∫在[上连续,且f(x)不恒等于零,证明:(/(x)d>0 5.设f与g都在[ab]上可积,证明:M(x)=mx/(x)g(x)m(x)=mmJ/(x)g(x) 在[ab]上也都可积 6.试求心形线r=d(1+cos)0≤6≤2上各点极径的平均值§3 可积条件 1． 证明：若 / T 是 T 增加若干个分点后所得的分割，则      T i i T i i  x  x / . 2． 证明：若 f 在 a,b 上可积， , a,b ，则 f 在 , 上也可积. 3． 设 f , g 均为定义在 a,b 上的有界函数.证明：若仅在 a,b 中有限个点处 f (x)  g(x)， 则当 f 在 a,b 上可积时， g 在 a,b 上也可积，且 ( ) ( )   = b a b a f x dx g x dx . 4． 设 f 在 a,b 上有界， a  a b a c n n n  = → , ,lim .证明：若 f 在 a,b 上只有 a (n =1,2, ) n 为其间断点，则 f 在 a,b 上可积. 5． 证明：若 f 在区间  上有界，则 ( ) ( ) ( ) ( ) / // , / // sup f x inf f x sup f x f x x x x x − = −    . §4 定积分的性质 1． 证明：若 f 与 g 都在 a,b 上可积，则 ( ) ( ) ( ) ( )    = = → b a n i i i i T f g x f x g x dx 1 0 lim   ，其中  i i , 是 T 所属小区间 i 中的任意两点， i = 1,2,  , n . 2． 不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小： （1）  1 0 xdx 与  1 0 2 x dx ； （2）  2 0  xdx 与  2 0 sin  xdx . 3． 证明下列不等式： （1） 2 sin 2 1 1 1 2 2 0 2     −   dx x ； （2） e dx e x    1 0 2 1 ； （3） 2 sin 1 2 0      dx x x ； （4） 6 ln 3 4    e e dx x x e . 4． 设 f 在 a,b 上连续，且 f (x) 不恒等于零，证明： ( ( )) 0 2   b a f x dx . 5． 设 f 与 g 都在 a,b 上可积，证明： ( )    ( ) ( ) ( )   M x f x g x m x f (x) g(x) x a b x a b max , , min ,  ,  , = = 在 a,b 上也都可积. 6． 试求心形线 r = a(1+ cos),0   2 上各点极径的平均值