x a22x2+a23x3+.+a,,=b2 照此消元,直至第n-1步得到三角形方程组 a1i x +a12 x2+a13x,+.+aix,=b(o) ax tax.t 1x.=b a2x2+…+a2-x b b 接下来的回代过程首先由(34)的最后方程求出xn,依次向上代入求出xn1,xn=2y…x1即 高斯消元法用矩阵初等变换的方法表示就是 2-n b b bs (A,b) b b b 2 b a2)b2)→>… b 注:用高斯消元法求解线性方程组,是对线性方程组作三种初等行变换(某个方程乘 零常数k;一个方程乘常数k加到另一个方程,对换两个方程的位置),将其化为同解的阶梯 形方程组,这一消元过程用矩阵来表示就是对方程组的增广矩阵施行初等行变换,化为阶梯 矩阵因此,求解线性方程组时不能对增广矩阵施行对换矩阵的两列以外的列变换,若对换 矩阵的两列,相应地未知元也要对换 4.应用 (1)化矩阵为阶梯形 例1试用消元法化A为阶梯形矩阵, 2426-6 33334         + + = + + = + + + = + + + + = (3) (3) 3 (3) 3 (2) 3 (2) 3 3 (2) 33 (1) 2 (1) 3 2 (1) 2 23 (1) 22 (0) 1 (0) 3 1 (0) 2 13 (0) 1 12 (0) 11 n nn n n n n n n n n a x a x b a x a x b a x a x a x b a x a x a x a x b      （3.3） 照此消元，直至第 n −1 步得到三角形方程组          = + + = + + + = + + + + = ( −1) ( −1) (2) 3 (2) 3 3 (2) 33 (1) 2 (1) 3 2 (1) 2 23 (1) 22 (0) 1 (0) 3 1 (0) 2 13 (0) 1 12 (0) 11 n n n n nn n n n n n n a x b a x a x b a x a x a x b a x a x a x a x b     （3.4） 接下来的回代过程首先由（3.4）的最后方程求出 n x ，依次向上代入求出 1 2 1 x , x , x n− n−  即 可. 高斯消元法用矩阵初等变换的方法表示就是 (A,b) =               n n nn n n n a a a b a a a b a a a b         1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 → − − − 1 11 31 3 1 11 21 2 1 11 1 r a a r r a a r r a a r n n                (1) (1) (1) 2 (1) 2 (1) 2 (1) 22 (0) 1 (0) 1 (0) 12 (0) 11 n nn n n n a a b a a b a a a b        → − − − 2 (1) 22 (1) 42 4 2 (1) 22 (1) 32 3 2 (1) 22 (1) 2 r a a r r a a r r a a r n n                  (2) (2) (2) 3 (2) 3 (2) 3 (2) 33 (1) 2 (1) 2 (1) 23 (1) 22 (0) 1 (0) 1 (0) 13 (0) 12 (0) 11 n nn n n n n a a b a a b a a a b a a a a b         →→                 ( −1) ( −1) (2) 3 (2) 3 (2) 33 (1) 2 (1) 2 (1) 23 (1) 22 (0) 1 (0) 1 (0) 13 (0) 12 (0) 11 n n n nn n n n a b a a b a a a b a a a a b       注：用高斯消元法求解线性方程组，是对线性方程组作三种初等行变换(某个方程乘非 零常数 k；一个方程乘常数 k 加到另一个方程，对换两个方程的位置)，将其化为同解的阶梯 形方程组，这一消元过程用矩阵来表示就是对方程组的增广矩阵施行初等行变换，化为阶梯 矩阵.因此，求解线性方程组时不能对增广矩阵施行对换矩阵的两列以外的列变换，若对换 矩阵的两列，相应地未知元也要对换. 4. 应用 （1）化矩阵为阶梯形 例 1 试用消元法化 A 为阶梯形矩阵，               − − − − − = 3 3 3 3 4 2 1 0 2 3 2 4 2 6 6 1 2 1 0 2 A 解