据此以定投影dvd、ddx、 dxdy的正负,亦即二重积分的正负。 问题7.设∑是半球面x2+y2+z2=R2(y20)的外侧。有人说:“由对称性知 24s=0,故同样也有』ab=0.”这样说对不对 答:这样说不对。我们知道,对面积的曲面积分与曲面(积分域)的侧(方向)无关。 故考虑对称性时比较容易。但对坐标的曲面积分与曲面的侧有关,所以在考虑它的对称性时, 还要考虑曲面的侧。也即要顾及被积函数与曲面,情形就比较复杂。因此,在计算对坐标的 曲面积分时,不如先把它转化为二重积分,再化为定积分,在转化过程中可考虑利用二重积 分或定积分的对称性,这是基本方法。利用对称性只是对具有这种特殊性质的积分所用的解 题技巧,并非每个曲面积分都具有这种特殊性质。 问题中的积分=0是对的。因为曲面∑对称于xy平面,而被积函数=在关于 xOy平面的对称点上,它的值差一个符号(奇函数)。所以zdS=0,但dy=0是 不对的。因为曲面虽关于xOy平面对称,但在对称点上,∑的方向不同,因而投影d不 等。故对称性不能用。计算=dd可用两种方法 (1)设将∑分为xOy平面上、下两部分,分别记为∑1与Σ2,它们的方程是 =√R2-x2-y2与:=√R2-x2-y2。∑的外侧相当于∑1的上侧和∑2的下侧,所以 zd=d+』zdb=J√R2-x2-y2ddy(上侧取正) ∫(-√R-x- y dxdy(下侧取负) 2 R2-x2-y dxdy=2(2 de[ VR2-Prdr=EZR x2+y2≤R2 (2)补一个圆面D:y=0,x2+z2≤R2,并取左侧,使Σ+D围成一半球体g。 由高斯公式,由于dh=0,故有』zdb=手ad=J据此以定投影 dydz ﹑ dzdx﹑ dxdy 的正负，亦即二重积分的正负。 问题 7．设  是半球面 2 2 2 2 x y z R y + + =  ( 0) 的外侧。有人说：“由对称性知 zdS 0  =  ，故同样也有 zdxdy 0  =  。”这样说对不对？ 答：这样说不对。我们知道，对面积的曲面积分与曲面（积分域）的侧（方向）无关。 故考虑对称性时比较容易。但对坐标的曲面积分与曲面的侧有关，所以在考虑它的对称性时， 还要考虑曲面的侧。也即要顾及被积函数与曲面，情形就比较复杂。因此，在计算对坐标的 曲面积分时，不如先把它转化为二重积分，再化为定积分，在转化过程中可考虑利用二重积 分或定积分的对称性，这是基本方法。利用对称性只是对具有这种特殊性质的积分所用的解 题技巧，并非每个曲面积分都具有这种特殊性质。 问题中的积分 zdS 0  =  是对的。因为曲面  对称于 xoy 平面，而被积函数 z 在关于 xoy 平面的对称点上，它的值差一个符号（奇函数）。所以 zdS 0  =  ，但 zdxdy 0  =  是 不对的。因为曲面虽关于 xoy 平面对称，但在对称点上，  的方向不同，因而投影 dxdy 不 等。故对称性不能用。计算 zdxdy   可用两种方法： （1）设将  分为 xOy 平面上﹑下两部分，分别记为 1 与 2 ，它们的方程是 2 2 2 z R x y = − − 与 2 2 2 z R x y = − − − 。 的外侧相当于 1 的上侧和 2 的下侧，所以 2 2 2 1 2 2 2 2 x y R zdxdy zdxdy zdxdy R x y dxdy    +  = + = − −     （上侧取正） 2 2 2 2 2 2 ( x y R R x y dxdy +  − − − −  （下侧取负） 2 2 2 2 2 2 2 x y R R x y dxdy +  = − −  2 2 2 3 0 2 2 2 3 R d R r rdr R     − = − =   。 （2）补一个圆面 D ： 2 2 2 y x z R = +  0, ，并取左侧，使 + D 围成一半球体  。 由高斯公式，由于 0 D zdxdy =  ，故有 2 3 3 D zdxdy zdxdy dv R  +  = = =   