dt 2dt=4丌 oS- t+4sin-t 注:将曲线积分中Pax+gh改变为另一路径l上的积分中Px+Qh,一定要检查条件 =是否在L与l所围成的区域内成立,且L与l方向要一致 问题5.计算积分∮x+yd+=ddy,为球面:x+y2+=2=R2的外侧 下面作法是否正确 x'dydz +y'dedx +=dxdy 22+22)dv=3R2T[ dv=4RS 答:这个作法不正确,错在三重积分的计算,像这样的错误,一不注意就会发生。因为 给出的是Σ上的曲面积分,在Σ上x、y、z应满足方程x2+y2+2=R2,这是对的。但 在用了高斯公式以后,曲面积分已转换成了三重积分,积分域为g:x2+y2+2≤R2, 即x、y、z在闭域上变动而对于内部的点(xy),已不满足x2+y2+2了。正确的 结果应是 3e2+y2+2)dv= der dpl psin pdp=<TRS 问题6.设∑为平面x+2=a在柱面x2+y2=a2内那一部分的上侧,下面两个积分的 解法是否正确? (1)j(x+=可4=ax(x的面积)=vd (2)j(x+p=doh=ax(C的面积)=y2rd3 答:第一个积分的解法是对的,第二个的解法不对。因为第二个积分是对坐标的曲面积 分,其中的微分元dxdy是dS在xOy面上的投影,故正确的作法是: ∫(x+)d=q」jb=dh,D是Σ在xOy上的投影:x2+y2≤a, (x+)d=jddh=a×(的面积)=rd 如果∑是下侧,那末(x+=-qdd=-d 曲面积分‖Pah+Qhx+Rhd之所以称为对坐标的曲面积分,就是上式中 dd、dax和dxd分别是Σ的面积元素dS在坐标面y0z、zOx和xoy上的投影。因此 计算时应分别把Σ投影于y0、z0x和xoy面上,化为二重积分,这时,需要注意∑的侧,2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 4 2cos 8sin 2 4 cos 4sin L xdy ydx t t dt dt x y t t    − + = = = + +    。 注：将曲线积分 L Pdx Qdy +  改变为另一路径 l 上的积分 l Pdx Qdy +  ，一定要检查条件 Q P x y   =   是否在 L 与 l 所围成的区域内成立，且 L 与 l 方向要一致。 问题 5．计算积分 3 3 3 x dydz y dzdx z dxdy  + +  ， 为球面： 2 2 2 2 x y z R + + = 的外侧。 下面作法是否正确： 3 3 3 x dydz y dzdx z dxdy  + +  = 2 2 2 2 5 3 ( ) 3 4 x y z dv R dv R   + + = =   。 答：这个作法不正确，错在三重积分的计算，像这样的错误，一不注意就会发生。因为 给出的是  上的曲面积分，在  上 x ﹑ y ﹑ z 应满足方程 2 2 2 2 x y z R + + = ，这是对的。但 在用了高斯公式以后，曲面积分已转换成了三重积分，积分域为  ： 2 2 2 2 x y z R + +  ， 即 x﹑ y ﹑ z 在闭域上变动,而对于  内部的点 ( x y z , , ) ，已不满足 2 2 2 x y z + + 了。正确的 结果应是 2 2 2 2 4 5 0 0 0 12 3 ( ) 3 sin 5 R x y z dv d d d R          + + = =     。 问题 6．设  为平面 x z a + = 在柱面 2 2 2 x y a + = 内那一部分的上侧，下面两个积分的 解法是否正确？ （1） ( ) 3 ( ) 2 x z dS a dS a a    + = =   =   的面积 。 （2） ( ) 3 ( ) 2 x z dxdy a dxdy a a    + = =   =   的面积 。 答：第一个积分的解法是对的，第二个的解法不对。因为第二个积分是对坐标的曲面积 分，其中的微分元 dxdy 是 dS 在 xOy 面上的投影，故正确的作法是： ( ) D x z dxdy a dxdy a dxdy   + = =    ， D 是  在 xOy 上的投影： 2 2 2 x y a +  ，故 ( ) 3 ( ) D x z dxdy a dxdy a D a   + = =  =   的面积 如果  是下侧，那末 3 ( ) D x z dxdy a dxdy a   + = − = −   。 曲面积分 Pdydz Qdzdx Rdxdy  + +  之所以称为对坐标的曲面积分，就是上式中 dydz ﹑dzdx 和 dxdy 分别是  的面积元素 dS 在坐标面 yoz ﹑ zox 和 xoy 上的投影。因此 计算时应分别把  投影于 yoz ﹑ zox 和 xoy 面上，化为二重积分，这时，需要注意  的侧