P 由格林公式,得 ao aP dxdy=0 ax ay 而事实上I x2+x-y=(1+1)dh=2z 上述前一种解法是错误的,因为 在(0,0)不连续,而(0,0)∈D,故不满足格林 公式的条件,不能直接应用格林公式。 2.格林公式对复连通区域D,结论也成立,但L必须是D的所有边界曲线取正向 曲线正向的规定:沿D的边界曲线正向前进,区域D总在其左侧 例如,I=6xd-yahr 其中L是D:1≤x2+y2≤4的 正向边界曲线,如图10-1,L的正向为x2+y2=4的逆时针和 x2+y2=1的顺时针方向。 因为 (x,y)∈D, 图10-1 故由格林公式,得I= dy=o 问题4.设L为椭圆x2+=1,1为圆周x2+y2=均为逆时针方向,问下列积分 的计算是否正确? xdy-4ydx f xdy-4ydx )xdy-4ydx=2 5 dadu=5丌。 y 答:不正确。因为当x2+y2≠0时,Q aP 4(y 故在L与l围成的区域D中,些≠,因此 *5 xdy-4ydx 正确的解法是利用L的参数方程:x=cost,y=2sint,t从0变到2r,2 2 2 2 , y x P Q x y x y − = = + + , 2 2 2 2 2 ( ) Q y x P x x y y  −  = =  +  ,  由格林公式，得 0 D Q P I dxdy x y     = − =        而事实上 ( ) 2 2 1 1 2 L L D xdy ydx I xdy ydx dxdy x y  − = = − = + = +    。 上述前一种解法是错误的，因为 , Q P x y     在 (0,0) 不连续，而 (0,0)  D ，故不满足格林 公式的条件，不能直接应用格林公式。 2．格林公式对复连通区域 D ，结论也成立，但 L 必须是 D 的所有边界曲线取正向。 曲线正向的规定：沿 D 的边界曲线正向前进，区域 D 总在其左侧。 例如， 2 2 L xdy ydx I x y − = +  ，其中 L 是 D ： 2 2 1 4  +  x y 的 正向边界曲线，如图 10-1，L 的正向为 2 2 x y + = 4 的逆时针和 2 2 x y + =1 的顺时针方向。 因为 Q P x y   =   ， ( , ) x y D  ， 故由格林公式，得 0 D Q P I dxdy x y     = − =        。 问题 4．设 L 为椭圆 2 2 1 4 y x + = ，l 为圆周 2 2 1 2 x y + = 均为逆时针方向，问下列积分 的计算是否正确？ 2 2 2 2 2 2 1 2 4 4 2 4 2 5 5 L l l x y xdy ydx xdy ydx xdy ydx dxdy x y x y  +  − − = = − = = + +     。 答：不正确。因为当 2 2 x y +  0 时， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4( ) , ( ) ( ) Q y x P y x x x y y x y  −  − = =  +  + 故在 L 与 l 围成的区域 D 中， Q P x y      ，因此 2 2 2 2 4 4 L l xdy ydx xdy ydx x y x y − −  + +   。 正确的解法是利用 L 的参数方程： x t y t = = cos , 2sin , t 从 0 变到 2