释疑解难曲线积分与曲面积分 问题1.如何认识多元函数的几种积分的定义? 答:多元函数的几种积分的定义可以用统一形式给出,统称为几何形体上的积分: ∫/(PdP=m∑/(P)AP,其中△P是将积分区域G任意分割为n块后的任一块 (=12…,n),P为△P内的任一点,花=max{AP},它是定积分的推广。 若G为平面域D,则是二重积分f(x,y)do 若G为空间区域Ω,则是三重积分f(x,y,=)hv 若G为曲线弧L,则是对弧长的曲线积分(xy) 若G为曲面∑,则是对面积的曲面积分f(xy,=)S 另外还有对坐标的曲线积分∫Pd+Qh=j(Posa+?osp 其中a,B为有向曲线弧L的切向量的方向角 对坐标的曲面积分 J Pdyd-s+@d=dx+Rdxdy=J(P cosa+@cos B+Cosy)ds 其中a,B,y为有向曲面∑的法向量的方向角。 问题2.如何正确理解两类曲线积分和曲面积分的概念? 答:由于实际需要,曲线积分与曲面积分为两种类型,有关质量、重心、转动惯量等 数量积分问题导出第一类线面积分;有关变力作功、流体流过曲面的流量等向量问题导出第 二类线、面积分。前者被积函数化为数量函数沿区域积分,无需考虑方向性,而后者被积函 数是向量函数,必须考虑方向。因此,一个函数的积分可以由积分区域的有向或无向分为两 种类型的积分,在所学过的积分中 区域无向的积分有:重积分、第一类曲线积分和第一类曲面积分; 区域有向的积分有:定积分、第二类曲线积分和第二类曲面积分。 曲线的方向是由起点到终点(定积分)或切向量的方向来确定,曲面的方向则由曲面 上点的法向量所指向的侧来确定, 我们常会把两类积分相互转换,转换时必须注意符号,它体现了有向积分的方向。将 无向域的积分化为有向域的积分,如重积分化为累次积分(定积分),方向性体现为定积分 的上、下限的确定,而将有向域的积分化为无向域的积分,如第二型曲面积分化为二重积分 或三重积分,第二型曲线积分化为二重积分等,必须注意符号的确定问题。 问题3.应用格林公式时应注意什么问题? 答:应用格林公式应注意以下几点: 1.必须注意格林公式的条件是否满足,否则,就会出现错误 例如,设=④x-yatr ,其中L为x2+y2=1取正向,若按如下解法:释疑解难 曲线积分与曲面积分 问题 1．如何认识多元函数的几种积分的定义？ 答：多元函数的几种积分的定义可以用统一形式给出，统称为几何形体上的积分： 0 1 ( ) lim ( ) n i i G i f P dP f P P → =  =   ，其中 Pi 是将积分区域 G 任意分割为 n 块后的任一块 ( 1, 2 , ) i n = ， Pi 为 Pi 内的任一点， max i i  = P ，它是定积分的推广。 若 G 为平面域 D ，则是二重积分 ( , ) D f x y d  。 若 G 为空间区域  ，则是三重积分 f x y z dv ( , , )   。 若 G 为曲线弧 L ，则是对弧长的曲线积分 ( , ) L f x y ds  。 若 G 为曲面  ，则是对面积的曲面积分 f x y z dS ( , , )   。 另外还有对坐标的曲线积分 ( cos cos ) L L Pdx Qdy P Q ds + = +     其中  , 为有向曲线弧 L 的切向量的方向角。 对坐标的曲面积分 Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS ( cos cos cos )      + + = + +   ， 其中    , , 为有向曲面  的法向量的方向角。 问题 2．如何正确理解两类曲线积分和曲面积分的概念？ 答：由于实际需要，曲线积分与曲面积分为两种类型，有关质量﹑重心﹑转动惯量等 数量积分问题导出第一类线面积分；有关变力作功、流体流过曲面的流量等向量问题导出第 二类线、面积分。前者被积函数化为数量函数沿区域积分，无需考虑方向性，而后者被积函 数是向量函数，必须考虑方向。因此，一个函数的积分可以由积分区域的有向或无向分为两 种类型的积分，在所学过的积分中： 区域无向的积分有：重积分﹑第一类曲线积分和第一类曲面积分； 区域有向的积分有：定积分﹑第二类曲线积分和第二类曲面积分。 曲线的方向是由起点到终点（定积分）或切向量的方向来确定，曲面的方向则由曲面 上点的法向量所指向的侧来确定， 我们常会把两类积分相互转换，转换时必须注意符号，它体现了有向积分的方向。将 无向域的积分化为有向域的积分，如重积分化为累次积分（定积分），方向性体现为定积分 的上﹑下限的确定，而将有向域的积分化为无向域的积分，如第二型曲面积分化为二重积分 或三重积分，第二型曲线积分化为二重积分等，必须注意符号的确定问题。 问题 3．应用格林公式时应注意什么问题？ 答：应用格林公式应注意以下几点： 1．必须注意格林公式的条件是否满足，否则，就会出现错误。 例如，设 2 2 L xdy ydx I x y − = +  ，其中 L 为 2 2 x y + =1 取正向，若按如下解法：