∫f(xkdx-s(T)<E,S(m)-J。f(xkx<E(2.4) 所以只要取阶梯函数h和h2为 h1(x)=m,h2(x)=M,x∈(x1,x,) i=1 就有 Jo h(x)x=s(r), h()dx=S(T) 把它代入(2.4)式,就证得(2.3)式成立 (2)满足题设条件的阶梯函数h1和h2存在,根据阶梯函数的定义,分别存在分割T1和 T2,使 S(T)-s(T)sf h,(x)dx-S h,(xdx<e 令T=T1+T2,把T看作既是T1的加密,又是T2的加密,于是有 of△x,=S(7)-s(T) ≤S(72)-s(71)<E, 这就证得∫∈州{ab 说明由以上(1)的结论,立即得到 ∫h2(xkx-h(xkx 再与(2)相联系,便有如下命题—一f∈9{ab]的充要条件是:存在两个阶梯函数h和h2, 满足 h1(x)≤f(x)≤h2(x),x∈[ab], ∫。h2(xkx-」h(xkx<E 由以上(1)与(2)的证明看到,这个命题其实就是可积第二充要条件的另外一种表达方式。 例4证明:若f∈{ab],则对任给的E>0,存在一个连续函数g(x)≤f(x),x∈[ab],f (x)dx s(T) b  a − , S(T) f (x)dx  b a −  (2.4) 所以只要取阶梯函数 1 h 和 2 h 为 ( ) mi h1 x = ( ) M i h2 x = , ( ) i i x x , x  −1 , i =1,2,  ,n, 就有 h (x)dx s(T) b  a 1 = , h (x)dx S(T) b  a 2 = 把它代入(2.4)式，就证得（2.3）式成立。 （2）满足题设条件的阶梯函数 1 h 和 2 h 存在，根据阶梯函数的定义，分别存在分割 T1 和 T2 ，使 S(T ) s(T ) h (x)dx h (x)dx b a b 2 1 a 2 1 −   −  令 T=T1+T2，把 T 看作既是 T1 的加密，又是 T2 的加密，于是有 ( ) ( ) ( )   = − T i f i x S T s T ( ) ( )   2 T1  S T − s ， 这就证得 f a,b 说明 由以上（1）的结论，立即得到 ( ) ( ) 2 h2 x dx h1 x dx b a b a  −  ， 再与（2）相联系，便有如下命题—— f a,b 的充要条件是：存在两个阶梯函数 1 h 和 2 h ， 满足 h (x) f (x) h (x) 1   2 ， xa,b， h (x)dx h (x)dx b a b a 2 1  −  由以上（1）与（2）的证明看到，这个命题其实就是可积第二充要条件的另外一种表达方式。 例 4 证明：若 f a,b ，则对任给的   0 ，存在一个连续函数 g(x)  f (x)，xa,b