证VE>0,因f∈ab],故彐分割T,使 把a,B两点加入T而成T,则由T是T的加密,知道 ∑o△x≤∑ 与此同时,T在[a,B]上的那部分分点构成对[a,月]的一个分割T”,并有 这就证得∫∈ 例3设h(x)是定义在[a,b]上的一个阶梯函数,意即有一[a,b]的分割T,使h(x)在T 所属的每个小区间(x21,x)上都是常(x,)的值可以是任意的,它对hx)的积分无影响), i=1,2,…,n,证明: (1)若f∈,月],则任给E>0,存在阶梯函数h1(x)≤f(x)h2(x)≥f(x)x∈[ab 使得 S(,(x)<8 〔h2(xkx-(xk≤E) (2.3) (2)若对任给的E>0,存在阶梯函数 h1(x)≤f(x),h2(x)≥f(x),x∈b 使得 ∫h2xkx-h1(xkx<E 则∫∈b 证(1)由f∈,b],彐T,使得 S()-s(r) 由于s()≤f(xkx≤S(T),因此证   0 ，因 f a,b ，故  分割 T，使 ( )   T i i  x  把 ,  两点加入 T 而成 ' T ，则由 ' T 是 T 的加密，知道 ( ) ( )     T T X i i I  ' '  x  与此同时， ' T 在[ ,  ]上的那部分分点构成对[ ,  ]的一个分割 '' T ，并有 ( ) ( )  '' ''  ' '  i T T i i i  x  x 这就证得 f ,   □ 例 3 设 h(x) 是定义在[a,b]上的一个阶梯函数，意即有一[a,b]的分割 T，使 h(x) 在 T 所属的每个小区间 ( ) i i x , x −1 上都是常 ( ( )) i h x 的值可以是任意的，它对 h(x) 的积分无影响）， i =1,2,  ,n ，证明： （1）若 f ,   ，则任给   0 ，存在阶梯函数 h (x) f (x)(h (x) f (x)), x a,b 1  2   , 使得 f (x)dx h (x)dx b a b a 1  −  ( h (x)dx f (x)dx ) b a b a  −  2 （2.3） (2)若对任给的   0 ,存在阶梯函数 h (x)  f (x) 1 , h (x)  f (x) 2 , xa,b, 使得 h (x)dx h (x)dx b a b a 2 1  −  , 则 f a,b 证 (1)由 f a,b, T ,使得   = ( ) − ( ) T i f i x S T s T   由于 s(T) f (x)dx S(T) b   a  ,因此