Vol.28 No.5 殷焕武：基于资金受限的多方案投资评价与选择方法 ·503· 与步骤如下， 2.3相关矩阵 2.1主成分及其性质 将原始数据矩阵标准化后，得出标准化后的 在n维实向量空间R”中，全体长度为1的 相关矩阵 向量（即单位向量）的集合，记为￡={L|LTL= 设多指标随机向量X有m个样本值，将其 1,L∈R". 写成矩阵形式： 设X={X1,X2,…,Xm}T为n维随机向量 TIl x12 IIn L1,L2,…,Lm为n个不同的单位向量，即L,∈ T21 x22 T2n X= ￡.按下列方式构造新变量Z,=LX,i=1,2, …,n LIml xm2 ①若Z1满足条件：D(Z1)=maxD(Z)IZ 记 =LTXI,则称Z1=LTX为X的第1主成分 ki, (3) ②若Z2满足条件：D(Z1)=maxD(Z)lZ =LTX且协方差COV(Z1,Z)=01,则称Z2= ,=(x-动w-) (4) LX为X的第2主成分 =,i,j=12,…,n (5) ③一般地，若Z(k=2,3,…,n)满足条件： √6iX√on D(Z)=max D(Z)Z=LT COV(Zi,Z) 则称R=(T)m×n为随机向量X的样本相关矩 =0,i=1,2,…,k-1},则称Z。=Lx为X的第 阵.随机向量X的样本相关矩阵是其对应的单 k主成分. 位特征向量L1,L2,…,Ln,若特征值入1≥入2≥… 由主成分的定义可知，求随机向量X主成分 ≥入m≥0，则Z=(Z1,Z2,…,Zn)T称为随机向址 Z1,Z2,…,Zn的关键是求出系数向量L1,L2,…, X的样本主成分6，其中Z:=Lx 1 -0.7678-0.9978 -0.9975 Ln -0.7678 0.7595 0.7533 2.2标准化矩阵 R= -0.9978 0.7595 0.9996 对原始数据计算每个指标的均值和标准差， -0.99750.7535 0.9996 1 得出标准化矩阵. 2.4特征向量 X,(i=1,2,3,…,p)表示原指标体系中某个 (1)例中相关矩阵的特征值为： 随机变量，其标准化方式： 11=3.65067,12=0.34624, (1) 入3=0.00275，λ4=0.00034. s-7享x 可以发现，A1+入2+13+入4=4. (2) (2)正则化的特征向量矩阵为： -0.5178 0.23600.8218 0.0274 式中，X:为第t个方案第i评价因素值，X:和S 0.4449 0.89520.0235 -0.0094 为均值和方差5] L 0.5171-0.25930.3761 0.7238 经计算，样本标准化矩阵如表5所示 0.5163-0.27500.4273-0.6894 表5标准化数据表 从中可以看出，主成分个数为1个，其相应的 Table 5 Standardization data 特征向量为： 项目序号 y2 y3 L1=(-0.5178,0.4449,0.5171,0.5163)T, 1 -1.3159 0.2082 1.3989 1.4039 故其主成分集为： 2 -1.3159 1.7007 1.3312 1.3467 -0.2453 1.2746 0.1817 0.1528 Z=-0.5178Y1+0.4449Y2+0.5171Y3+ 4 0.8252 -0.7455 -0.7987 -0.7980 0.5163Y4 5 1.0037 -0.8335 -1.0354 -1.0054 其中，Z为主成分，Y,为评价因素 6 1.0037 -0.9984 -0.9678 -0.9410 0.6468-0.3690 -0.5959 -0.6479 2.5综合评价 8 -0.6022 -0.2371 0.4860 0.4888 综合评价值E的计算公式为E= 注：表中y1,y2,y,y4为4个评价因素变量的标准化数据。 。 殷焕武 墓于资金受限的多方案投资评价与选择方法 相关矩阵 将原始数据矩 阵标准 化后 ， 相关矩 阵 设多指标随 机 向量 有 写成矩 阵形式 得 出标准化后 的 个 样 本值 ， 将其 工 叨” ﹂﹃阮 与︸ ‘声产、 了、矛 飞︸工工 ‘、了、 一 习 工走护 阴 与步骤 如下 主成分 及其性质 在 维 实 向量 空 间 ” 中 ， 全 体长度为 的 向量 即单位 向量 的集合 ， 记 为￡ ， 任 叫 设 ，， ， … ， 。 为 ， 维 随机 向量 ， ， ， … ， ， 为 个 不 同的单位 向量 ， 即 ‘ 任 ￡ 按 下列 方 式 构 造 新变量 ‘ 沈 ， ， ， … ， · ① 若 ， 满足条件 ， 则 称 二 丁 为 的第 主成分 ② 若 满足条 件 且 协 方 差 ， ， 则 称 歹 为 的第 主成分 ③ 一般地 ， 若 走 ， ， … ， 满足条件 ， 且 ， ， ， ， … ， 一 ， 则称 几 卜 为 的第 主成分 由主成分的定义可知 ， 求随机 向量 主成分 ， ， … ， 。 的关键是 求出系数向量 ， ， … ， 。 标准化矩阵 对原始数据计算每个指 标的均值和 标准 差 ， 得 出标准化矩 阵 、 ， ， ， … ， 表示原 指标体 系中某个 随机变量 ， 其标准化方式 砚蕊毛万 习 ‘ 。 一 劲‘ 。 一 又’ 几 蓝令商 ， ‘ ， ’ 一 ‘ ’ ” ” ’ ” 则称 勺 ， 。 为随 机 向量 的样 本相 关 矩 阵 随机 向量 的样 本相 关 矩 阵是 其对 应 的单 位特征 向量 ， ， … ， ， ， 若特征值 几 几 … 久 。 妻。 ， 则 二 ， ， … ， ， 称为随机 向量 的样本主成分 ， 其中 ‘ 汉 一 一 一 卯 特征 向 一 一 二 卯 一 卯 。 例中相关矩 阵的特征值为 二 召 ， ， 入 ‘ 二二 夕 ，‘ 仁片 ，一 击 睿 ‘ 一 又 又 ， 几 ， 又 ， 几 可以发现 ， 入 又 又 几 式 中 ， 戈 ‘为第 ， 个 方 案第 评 价因 素值 ， 又 和 子 为均值和方 差〔 〕 正 则化的特征 向量矩 阵为 一 · ‘ “ ” · “ · ‘ ” · 州 ” · ” · · ‘ ‘ 一 ” · · ‘ 一 ，几 、产、声万 ，︸ 矛 ‘ 了、 ‘、 经计算 ， 样本标准 化矩 阵如表 所示 一 仪刃 一 胡 衰 日 标准化数据表 扭 皿川 皿 项 目序号 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 从 中可以看出 ， 主成分个数为 个 ， 其相应 的 特征 向量为 一 ， ， ， ， 故其主成分集 为 一 其中 ， 为主成分 ， ‘ 为评价因 素 综合评价 一，，斑 注 表中 火 ， 为 个评价因素变量的标准化数据 综合评价值 的计算公式 为 习 凡务〔