2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 e e 7.1.2旋转体的体积 1.绕x轴旋转生成的旋转体的体积(小圆台法 平面区域 D={x,y)a≤x≤b0≤y≤f(x)x轴生的旋持体的体积为 2=2mf2(x)x 2.绕y轴旋转生成的旋转体的体积(薄壁筒法)平面区域 D={x,y)a≤x≤b0≤y≤f(x) 绕y轴旋转生成的旋转体的体积为Ty=2xzf(x) 例77求由曲线y=√2-x2,y=√x及y轴所为平面区域绕x轴及绕y轴旋转 生成的旋转体的体积 Vx=5x2-x2)-x1x=兀 20√2-22 62z(y2-x 15 例78设常数a<1,直线y=aX与抛物线y=x2所围成图形的面积为S1,他们 与直线x=1所围成的图形面积为S 1)试确定Q的值,使S1+S2达到最小,并求出最小值 (2)求该最小值所对应的图形绕x轴旋转一周所生成旋转体的体积 解(1)A1=(ax-x2x=a, LX +-a 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:627817852005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 2 1 2 1 3 2 2 2 = e − e − 2 1 6 1 2 = e − 。 7.1.2 旋转体的体积 1.绕 x 轴旋转生成的旋转体的体积（小圆台法） 平面区域 D = { } (x, y) a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ f (x) 绕 x 轴旋转生成的旋转体的体积为 = ∫ b Vx a f (x)dx 2 π 2. 绕 y 轴旋转生成的旋转体的体积（薄壁筒法） 平面区域 D = { } (x, y) a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ f (x) 绕 y 轴旋转生成的旋转体的体积为 = ∫ b y a V 2xπ f (x)dx 例 7.7 求由曲线 y = 2 − x , y = x 2 及 y 轴所为平面区域绕 x 轴及绕 轴旋转 生成的旋转体的体积. y 解: π [ ] π 6 7 (2 ) 1 0 2 Vx = ∫ −x − x dx = ， π ( ) π 15 20 2 22 2 2 1 0 2 − Vy = ∫ − x − x dx = 例 7.8 设常数 ，直线 与抛物线 所围成图形的面积为 ，他们 与直线 所围成的图形面积为 。 a <1 y = ax 2 y = x S1 x = 1 S2 （1） 试确定 a 的值，使 达到最小，并求出最小值； S1 + S2 （2） 求该最小值所对应的图形绕 x 轴旋转一周所生成旋转体的体积。 [解]（1） A ax x dx = a = ∫0 − 2 1 ( ) 3 6 1 a ， 1 2 3 2 6 1 3 2 1 ( ) a a A x ax dx = ∫a − = − + 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 4 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785