2Lw1w(Q)中的推演完全性定理 工1(Q)与M1(Q)的定义与模型存在定理证明中的相同，L“1(Q)中的公理与推理 规则1中已叙述。 定义2.1：我们说L。1(Q)巾一模型(A,q)为理想模型当仅A是L.1.中的一个模型， 是A的论域A的子集族，并且： (1)若S∈q,S三t则t∈q。 (2)若SLt∈g,那么或S∈q或t∈q。 (3,对每-一a∈A,{a}g。 Q-量词的满足定义如下： (A,q)满足QXg(X)←→{b∈A:(A,q)满足(b)}∈q。 定理2.1(Lm1(Q)中准演完全性定理)设g是L.1(Q)中一个命题，那么g9在L。1.(Q) 可证明当仅当p在所有的理想模型下真。 由于篇幅的限制，只给一个粗略证明。 证明“→”由Lm:(Q)中每一公理在任意模型下真及L。1-中推演规则的保真性，若9在 L。1,(Q)中可证则g在所有理想模型下真。 “→”设C是L。1外的新的可数常量符号集合，M=LC,中∈L1.(Q)则有在L1.(Q) 中可证当仪当g在M,"(Q)中可证。这是因为每一个L.1.(Q)中的证明是M1.(Q)中的证 明，而任何对的M。1。(Q)中的证明仅有可数个变元出现。这样可把证明中C的每一元秦换 为一个在证明巾不出现的变元。(L.1(Q)中有W,个变无)。而M.1。(Q)中公理与推理规 则仍为L。1.(Q)中的公理与推理规则，这样就得到在L。1(Q)中的一个证明。 先证明下面结论(I),(I): (I)用QXp(X)V~QX(X)+QX((X)V~中(X))可证 证明：~QXg(X)VQXp(X)可证 →~QXg(X)VQX的(X)V(p(X)∧~(X))可证 +~QXgp(X)VQX(X)VQX((X)∧~(X)可证 →QX(X)∧~QX(X)+QX(p(X)八~p(X)) (1)~QX中1(X)∧…八~QXp.(X)-→~QX(p,(X)V…Vp.(X) 由(A12)易证。 下面将引用模型存在定理，但对和谐性质定义中的9，作如下特殊选择：9，={t二C 月t-c:是无限集}。令S是M.1.(Q)中适合下述条件的所有石多可数句子集S,的集合，S, 的每个命题只含C,中有限多个元素，并且S,有如下性质： (i)S:=S:JQXg(X),..,Qxo.(X),~QXg+(X),...~QXp...(X)) {p:(c)lc∈t}J…J{.c)lc∈t,}U(~g.(c)lcet.1}l…LJ{~r..(c)l c∈tn+m}。 S.U{QXp1(X),,~QXp.(X)}=S,S,中只出现C的有限多元素这里t,∈qs, 1n。t:n+1jn+n是(c8)中的S型集合。t门1，=中，1i,in,i≠i。t,中仪有 c:中行限多元素，1i+m。令C={c在S,中非现}，hCt,=中，1一+. 386中的推演完全性定理 · ， 。 旧 与五 ， 。 的定 义与模 型 存在定理 明 中 向相 同 ， ， ， · 中的公 理 与 推理 规 则 中已叙 述 。 定义 我 们说 。 ，。 中一模 型 ， 为理想 模型 当 汉当 是 。 ， 中的 一 个模 型 ， 是 的论 域 的子 集族 ， 并 且 ‘ 若 ， 互 则 。 若 日 任 口， 那 么或 任 或 口 。 ， 对 每 一 任 ， 冬夕 。 一显词 的满 足定 义如下 ， 。 满 足 叨 。 任 ， 满 足切 任 。 定理 二 ，二 中推演完全性定理 设 甲是 ，， 中一 个命题 ， 那 么 切 在 。 二 旧 ， ，可 正明 当 汉当卯在所 有 的理 想模型下真 。 由于篇幅 的限 制 ， 只 给 一个 粗 略证 明 。 证 明 “ ” 由 。 ， 。 中每 一公 理 在 任意模 型下真及 。 ，， 中推演规 则的保 真性 ， 若 ，在 。 旧 中可证 则’ 在所有理 想模型下 真 。 “ ， ” 设 是 二 。 外 的新的可数常量符 一 号集合 ， 引 ， 诱 。 ， 。 旧 则有，在 。 。 中可 证 当 仅 当甲在 · 口 中可 证 。 这是因为每一个 ， 中的证 明 是 中的证 明 ， 而 任何对 甲的 。 。 中的 证明仅有 可数 个变 元 出现 。 这 样 可把证 明 中 的每 一元素换 为 一 个在证 明 中不 出现 的变 元 。 ， 、 中有 牙 个变 无 。 而 。 ， 旧 中 公 理 与 推理 规 则 仍 为 。 。 旧 中的公理 与推 理 规 则 ， 这 样就得到 甲在 。 。 中的 一 个证 明 。 先证 明下面结论 ， 用 甲 一 价 ‘ 中 功 可证 证明 华 切 可证 一 华 丫 功 甲 八 一 吵 可证 一 一 切 叻 甲 八 一 叻 可证 、 切 八 功 中 八 叻 一 价 八 … 八 吵 、 价 … 叻 由 易证 。 下面将弓 用模 型存在定理 ， 但对 和谐性 质定义 中的 ， 作如下特 殊选择 ， 二 目 卜 。 、 是 无限 集 。 令 是 。 ，。 中适 合下述 条件的所有 至多 可数 句子 集 ‘ 的集合 ， 戈 的傣 个命 题只 含 中有限 多个元 素 ， 并且 ‘ 有如 下性 质 ， ‘ 了匕 毛 甲 ， ， … ， 甲 ， 叨 十 ， … ， 一 ， 日 切 、 日 … 、 。 。 任 。 七 一 一 ， ， 任 。 十 ， 七 … 匕 一 犷 。 ， 。 任 。 、 。 ‘日 、 ， ， … ， 一 。 ， 卜 ‘ ， ‘ 中只 舰 的 有时该 。 这…瞥 ， 的 ， ， · ‘ 一 。 。 ‘ 了 。 干 一 万 一 ” 十 ” 是 户 哟又 型 集 合 。 矛 ‘ 自‘ ， 祝 “ ， ‘ ” ， 芳’ ‘ 中仅有 中 仃限 多 元素 ， 一 一 ，， 沉 。 今 广 在 ‘ 中， ，现 ， 由 ， 、 沪 ， 一 一