和谐性质及其应用Ⅰ

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.1989.04.015 第11卷第4助 北京科技大学学报 Vo1.11No.4 1989年7月 Journal of University of Science and Technology Beijing July 1989 和谐性质及其应用I 孙晓蓝 (数学力学系) 摘要：Bruce于1973年提出二阶逻辑L(Q)的概念和公理系统。K eisler提出∫尤 穷逻辑的公理系统。本文结合上述两种逻辑系统的思想，应用和谐性质的方法，建立了无穷 逻辑中的二阶语言Lw1(Q)的公理系统及模型理论。此文证明了主要是对Lw1(Q)中的模型 存在定理及推滨完全性定理。 关键词：和诺性质，基本项，理想模型，标准模型 Consistency Property and Its Application I Sun Xiaolan ABSTRACT:Kim B.Bruce gave a system of axioms for second order logic L(Q).H.J.Keisler presented a system of axioms for infinitary logic.This article gives a system of axioms and model theory for infinitary second order logic Lwiw(Q),based on the combination of both ideas of the systems and application of the cons.stency property;proves the model existence theorem and completeness theorem in Lw w(Q). KEY WORDS:consistency property,basic term,idcal model,standard model 1Lw,wQ)中的模型存在定理 有关Q量词的概念与记号参见【，2) 1.1L1(Q)中的公理及推理规则 1.1.1L"1(Q)中的公理 (1)一阶语言L中的所有公理。 (2)(~p)←-*(p)。 1987-11-10收稿 382

第 卷第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 ， 】 奥 。 日， 和 谐 性 质 及 其 应 用 孙 晓 蓝 敛学 力学 系 摘 要 。 于 年提出二 阶 逻辑 以 的 概 念和 公 理 系统 。 。 。 提出 无 穷 逻辑 的公 理 系 统 。 本文 结合上 述两 仲逻辑 系统 的思 想 ， 应 用 和 谐性 质的 方法 ， 建 立 了无 穷 逻辑 中的二 阶 语 言乙， “ · 的公 理 系统及模型理 论 此 文 证 明 了主 要是 对 ， 。 中的模 型 存 在定 理 及推演完 全 性 定 理 。 关 健 词 和 谐性质 ， 基本项 ， 理 想模型 ， 标准模型 ” 泣 作 一 ， 丁 一 、、 一 ，， ， ， ， 了， 一 脚 二 少 ， ， ， 碑声 ， 、 中的模型存在定理 洲尸 有 关 量词 的概念 与记号 参 见 〔 ‘ ， “ 〕 ‘ 。 中的公 理 及 推 理 规 。 。 中的公理 一 阶 语言 中的所有公理 。 一 切 甲 、 。 了 一 一 收 漓 产 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1989．04．015

(3)人Φ→g9,这里g∈中。 -天 (4)VXp(X,…)-p(t,…),这里p(X,…)是一个公式，t是一个项，1在4(X,…)中 对X自由发生，p(t,…)是由p(X,…)中把所有自由变元X换为而生成。 (5)X=X。 (6)X=Y-Y=X。 (7)9(X,…)入t=X-→(t,…)这里p(X,…)与4(t,…)定义与(4)中相同。 (8)QX(X=X)。 (9)VX(gp-→中)→(QXg-+QXp)。 甲 (10)QXp(X)+QYg(Y),Y在p中对X自由发生。 (11)VY~QX(X=Y)。 (12)QX(gmVp)-→QXeVQX4。 1,1,2L“1“(Q)中的推理规则 (1)中，中→p推出p。 (2)从-→p对Vgp∈中推出→入中。 (3)从的-→p(X,…推出p→VXgp(X,…),X在中不自由出现。 (4)从中-→V6()推出中→VX(X),S二C且S的元素不在中出现。(S是可数果合)。 1.1.3形式符号g~的定义。如果p是原子公式，则9~是~g。 (~4)~是4。（∧p)是Vp~乎。 (Vp中p)~是V∈~g。(☑Xg)~是VX~4。 (VX)~是gX~4。(QXp)~是QX~g。 1.1.4C是一个可数无限常量符号集，q是C的子集族 具有如下性质： (1)存在C的无限子集C1:1C-C=®，C:E9s。 (2)若tt2∈g,则或t,∈q或t2∈9。 (3)若t:∈q且t:Ctz则t2∈qs。 (4)对Vc∈C:{c}∈9s。 这里C是L之外的一个新的常量符号集，M=LLC,下面在M:(Q)中讨论模型存在定 理： 1.2定义1.1t被称为M山1"(Q)中的一个基本项 当仅当是一个常量符号或是一个项F(c1,",c),c1,c∈C,F是L中的函数符号。 定义1.2令S是M四1(Q)中可数命题集的集合。S被称为是一个对9s而言的和谐性质， 当仅当对每一S:∈S有如下性质：p是M如1m中命题： (c)g,~P不同时属于一个S:。 (C2)如果~9∈S,那么S,U{p}∈S。 (ca)如果∧中∈S,那么对所有p∈中，SJ{p}∈S。 383

八少、 争 ， 这里， 少 。 州 ， … 州 ， “ · ， 这 里 甲 ， “ · 是一 个公 式 ， 是一 个项 ， 在， ， 一 ‘ 对 自由发生 ， ， ， … 是 由 ， 一 中把 所 有 自由 变元万 换先 而 生成 。 二 。 二 。 甲 ， “ · 八 华 ， ” · 这里 甲 ， 与 华 ， “ · 定义 与 中相 同 。 。 华 妇 势 妇 。 口尤州 州 巧 ， 在华中对 自由发生 。 一 二 。 甲 必 ， 甲 丫 华 。 二 二 中的推 理规则 劝 ， 价、 华推 出甲 。 从 劝 华对 甲 已 小推 出劝， 八 中 。 从 功、 甲 ， … 推 出价 华 ， ， 在劝中不 自由出现 。 约 从 吵 丫 推 出势、 口 ， 〔 且 的元素不在劝中出现 。 是可数 集合 。 形式 符 号争 一 的定 义 。 如 果华是原子 公 式 ， 则 华 是 一 华 。 一 华 是 华 。 八 。 二。 华 是 ， ， 华 。 ， 。 护 一 是 丫 ， 。 。 一 甲 。 帕 是 华 。 必 一 是了 一 华。 卯 一 是 一 梦 。 是 一 个可 数 无 限常里符 号集 ， 是 的子集族 具 有如下性 质 存 在 的无 限 子 集 一 ， 二 臼 ， 工 之 。 若 ，日 任 则或 任 或 任 。 若 任 且 、 二 则 任 。 对 任 。 暇 。 这 里 是 之 外 的一 个新 的常量符号 集 ， 匕 ， 下 面在 。 砂 中讨 论模型存在定 理 定义 。 被称 为 二 二 中 的一个基 本项 当 仅当 是一个常 量符号或是一个项 ， 一 ， 。 。 ， 。 ， ， 。 。 乏 ， 是 中的函数符号 。 定义 。 令 是 二 ， 。 旧 中可数命题集的集 合 。 被称 为是一个对 而 言 的和谐性质 ， 当仅当对每一 ‘ 任 有如下 性质 卯是 。 。 中命题 ， 甲， 一 华 不 同时属于一 个 ‘ 。 如 果 甲 任 ‘ ， 那么泞 ‘ 口 华 任 。 。 如 果八孕 任 ，， 那 么对所有甲 任 小 ， 又 口 华 任

(c)如果VXg(X)∈S,那么对Vc∈C,S,J{g(c)}∈S。 (cs)如果V中∈S,那么对某g∈p,S,J{g}(S。 (ca)如果XgX)∈S,那么对某c∈C,S,J{g(c)}ES。 (c,)如果QXg(X)∈S,那么对qs中某一与C:不相交的元素tEqs,有SU{y(c)|c ∈t}∈S(t∩Cs:=)。 (ca)令S.={cl对t∈qs从t-C:中取出一个元素C},如果~QXp(X)CS,那么 对S。有：S,U{~p(c)|c∈S。}∈S。 (c)t是一个基本项，c,d∈C。 ①如果c=d∈S:,那么S:U{d=c}∈S: ②如果c=t,p(t)∈S,那么S(U{m(c)）∈S; ③对某e∈C,S,U{e=t}∈S。 注：若S是一个和谐性质，则S的元素的所有子集组成的类S:仍为一个和谐性质。这时若 SCt∈S!,则S,∈S!。如果S,∈S,且c∈C,则S,{c=c}∈S1。如果S,∈S1,c,d,eEC 且c=d,d=e∈S:,那么S,☐{c=e}∈S1。上面的性质由和谐性质定义可得出。本文中模 型均指理想模型，不另外说明。 1.3定理1.1（棋型存在定理）如果S是一个和谐性质，S。∈S且{VY~QX(X-Y)}·S。, 那么S。有一个理想模型。 证明：不妨设S的每一元素的子集仍属于S。否则可考虑S的所有元素的子集所成的朱族 S1,这一和谐性质。而这时仍有S。∈S1。 令Y是具有如下性质的最小公式集： S,CY,Y封闭在子公式下。 如果t是一个项，c∈C,p(t∈Y,则p(c)EY。 如果~p∈Y则(p~)∈Y。 若c∈C,t为一基本项，则c=teY。 因S,可数及C可数显然Y可数，令X是Y中所有命题的集合，X={g.<:}。令T= {tnn<w}是所有基本的枚举。作者构造一个S的元素的序列：SS,二S,-…,i< w如下： S。∈S如上已给出，设已有S,∈S,用和谐性质的定义构造S,1三S如下： (1)S.CS.+i∈S。 (2)如果SLU{p.}∈S,那么p.∈S+1。 (3)如果SU{,}∈S,且g.=V中，那么对某9e中，0cS,1。 (4)如果SU{p,}∈S,且Pn=IXp(X),那么对某c∈C,p(c)eSi(c在S,小不 出现)。 (5)对某c∈C,(c=tn)eS.+1o (6)如果S.U{p.}eS且p.=QXp(X),那么有t∈qs,SU{p(c)|c∈t-C:}C S,+1。 (7)如果S..){g,}∈S且p.元~QX(X),那么有(cs)中的S:S.'{-yc)c S.}CSmi。 384

‘ 如 果 甲 任 了 ， ， 那 么 任 ， ， ‘ 夕 。 。 如 果 中 任 ， ， 那 么 对 某子 份 巾 ， ， 夏， 一 。 。 如 果 了 ， 呀 ， ， 那 么对某 任 ， ， ‘ 孕 任 。 如 果 切 任 ， 那 么对 ， 中某 一 与 不 相交 的 元 素 之 。 、 ， 有 ‘匕 ， 任 任 门 ‘ 功 。 。 令 。 受 对 。 从 一 中取 出一 个元 素 ， 如 果 甲 吸 〕 任 ， ， 那 么 对 。 有 ， 口 一 华 任 。 任 。 。 是一个 基本项 ， ， 任 。 ①如 果 二 任 ‘ ， 那 么 ‘ 口 。 〔 ②如 果 二 ， 切 〔 ‘ ， 那 么 ‘ 日 ， 〔 ③对 某 〔 ， ‘ 口 〔 。 注 若 是 一 个和谐 性 质 ， 则 的元素 的所 有子 集组 成的 类 仍 为一 个和谐 性 质 。 这 时 若 ‘二 〔 ，， 则 、 〔 ，。 如 果 ‘ 云 且 任 ， 则 ‘ 。 任 ， 。 如 果 任 ， ， ， 〔 且。 二 ， 。 〔 ‘ ， 那 么 ‘口 。 二 。 〔 ，。 上面 的性 质 由和谐性 质定义 可 得 出 。 本 文 中模 型均 指 理 想 模 型 ， 不另 外说 明 。 定理 摸型存 在定 理 如 果 是一 个和谐 性 质 ， 。 任 且 毛 一 几 均 。 ， 那 么 。 有一 个理想 模型 。 证 明 不妨设 的每一 元素的子 集仍属于 。 否 则 可 考虑 的所 有 元 素的 子 集所 成 的集 族 ，， 这一 和谐 性 质 。 而这时 仍有 。 〔 ， 。 令 是具 有如下 性 质 的最小 公 式 集 。 任 ， 封闭在子 公 式下 。 如 果 是一 个项 ， “ 任 ， 切 任 ， 则叨 。 亡 。 如 果 一 甲 则 甲 受 。 若 云 ， 为一 基 本项 ， 则 二 。 因 。 可数及 可数 显 然 可数 ， 令 是 中所 有命题 的 集合 ， 二 厦华 。 。 。 令 二 。 。 。 是所 有基 本的 枚 举 。 作 者构造一 个 的 元 素的序 列 。 任 仁 ” · 匕 ， ， ” ， 。 曰 如 下 。 亡 如上 已给 出 ， 设 已有 ， ， 用和谐 性 质 的定义 构造 ， 二 如 卜 仁 十 受 。 如 果 日 华 。 泛 ， 那 么甲 受 。 十 ， 。 如 果 。 日 华 。 臼 ， 且甲 。 二 少 ， 那 么对某 七 中 ， 二 ， 。 如果 。 日 甲 。 ， 且甲 。 二 甲 ， 那 么 对 某 ， 甲 二 。 、 在 ‘ ‘ 不 出现 。 对某 ， 。 之 。 ， 。 如果 。 日 甲 ， 二 且甲 ， 华 ， 那么有 叮 ， ， 口 卯 一 ， 〔 。 泣 。 如 果 了 。 ‘ 叨 。 任 且甲 。 二 切 ， 那 么有 。 中的 “ 。 ’ 一 ‘ ‘ 。 、 二

S.+1的存在性和和谐性质可以从定义香出。 现在证明对Vt∈qs,有t1∈qs:tCt且t∩c1=中。(t-c1∈qs,由qs的定义②或c1 ∈qs或t-C1∈qs由①知t-C:∈qs,令t1=t-C,即可。 定义S的模型A,g,令S。=US.,对c,d∈C令c~d当仅当c=d∈S。由c。知“~” 是c上一个等价关系。例如：。，i,eEC且c=dES,d=eES,那么c=eeX,对某m,c=e 是gm,取n≥m,便有c=d,d=e∈S,成立，由(c)②SU{c=e}∈S,因此SLI{c=e} ∈S且c=eeSm+1CSa。 用C记等价类{d:c∈C,c=d∈S。}.令A且有论域A={c:c∈C}。由(c)如果g (c1,…,c)∈S·c1~d:,…,c,~d,那么gm(d1,…dn)∈S。因此可以在A中解释 M.1.(Q)中的关系、常量符号使得： ⑧如果t是一个基本项，且c∈C,那么A满足c=t当仅当c=t∈S.。 ⑨如果R是一个n元关系符号且c1,,c,∈C,那么A满足R〔c:…,c门当仅当R(c1 …,c,)∈Sma 条件⑧，⑧定义了模型A中的函数及关系，常量。令9是A论域A的一个了集族.g= t,It'∈gs},t,'={c:ce',t'是9s的一个固定元素}。 下面证明A,q是S的模型，因此是S。的模型。对命题g的长度应用归纳法证明： 若g是原子命题，∈S.由定义知(A,g),(A,q)满足g。 若g为~po,p为原子命题，~gn∈S由(c1)p。年S由定义知(A,q)满足~4。→(A,q) 满足p。 对人Φ，VΦ，VX,aX的归纳由(C3)~(ca)易得。下面考虑对QX及~的归纳： 若QXg(X的∈S。,QXp(X∈Y被枚举为p,取n≥m,使p,∈S,SU{p.}∈S, 由上面知有t'∈qs,SLUJ{gp(c)|ce'-C,}CSn+1,再由归设及(c)对Vcet'-c:有(A, g)满足g〔c),由g定义有(A,q)满足Qxg(X)。易证t'-c:∈qs。 下面考虑对“~”的归纳：对原子命题的“~”前面已经考虑；若~p∈S。分如下几种 情形考虑： (i)p=~,~~的eSCY知被数举为pn,n≥m,m1,p.∈S.由(c2)Sm1二 S,U{(~)}∈S,(~)~为被枚举为gm1,SmU{(~)~}∈S→剪∈S。1+1,由 归设有(A,q)满足中→(A,g)满足~g。 (ii)~p三~V中，同理有(V)~∈S1+1,由p~定义有人~p∈S1+1,由(c)及归设 为对Vge中：(A,g)~m即(A,9)满足人~p,由此得(A,g)满足~VΦ=~p。 对~P三~八中，~IX(X),~VXP,(X),用(C)~(c)类似可证。下面考虑~g 号 ~QXg。(X) 同理，这时有~QXp(X)∈Sa+1,由上面(7)可知这时有Sa:Sm+L{~p(c)!c∈S。} CS.2,这时若有(A,q)满足QXgp。(Y)则对某t,'∈q:Vc∈t,',(A,q)满足g,(c),但 由S的的定义及归设有，对某c∈'：(A,q)满足g(c),得出矛盾，.（A,q)满足~QXgn (X)三心P. 由qs的定义及q的定义及下Y~QX(X=Y)被(A,9)满足可看出(A,q)是一个理模型。 385

夕 、 的存在性和和谐性质可以从定义 着出 。 现 在证 明对 叮 ， 有 ， 任 守 ，已 且 ，自。 ， 诱 。 一 。 ， 任 口夕 ， 由 的定义骨或 。 任 宁 或 一 任 ， 由①知 一 ， 令 ， 一 ，即可 。 定义 。 的模型 ， ，， 令夕 。 。 ， 对 ， 令 一 当仅 当 二 任 夕 。 。 由 。 。 知 “ 一 ，， ” 。 是 上一 个等 价关 系 。 例如 。 ， ， 任 且 。 夕 。 ， 。 任 夕 。 ， 那 么 。 。 ， 对某 。 ， 。 二 是切 ， 取 。 。 ， 便 有 ， 任 。 成立 ， 由 。 ②夕 ， 日 任 ， 因此夕 ， 口 任 夕且 。 夕 。 任夕 。 。 用 记等 价类 己 。 任 ， 。 二 任 夕 。 。 令 且有 论 域 。 。 由 。 如果 切 “ ， … ， · 夕 。 ， 一 ， … ， ， 一 。 ， 那 么笋以 ， … 。 夕 。 。 因此 可以 在 「 解释 。 ，。 旧 中 的关系 、 常 量符号 使得 ⑧如 果 是 一 个 墓本项 ， 且 。 ， 那 么 满 足 二 ⑨如 果 是一个 。 元关 系符号 且 。 ， ， … ， 。 ， ， 当仅 当 夕 。 。 那 么 满 足 〔 … ， 。 。 〕 当仅 当 。 一 ， 。 任 夕 。 。 条 件 ⑨ ， ， 声 产 任 回 定义 了模型 中的函数及 关 系 ， 常 量 。 令 是 论 域 的一 个 一 子集族 ， 二 。 。 任 ， ， ， 是口 的一 个 固定元 素 。 下 面 证 明 ， 是 。 的模 型 ， 因此是夕。 的模型 。 对命题切的长 度应 用 归纳 法 证 明 若甲是 原子命题 ， 甲 任 。 由定义 知 ， ， ， 满 足切 。 若华为 一 沪。 ， 切 。 为原子 命题 ， 一 甲。 。 由 切 。 在夕 。 由定义 知 ， 满 足 一 子 。 ， 帅 满 足甲 。 对八小 ， 小 ， ， 互 的 归纳 由 住 。 易得 。 下面 考虑对 及 的 归纳 若 介 任 。 ， 沪 被枚举为切。 ， 取 。 。 ， 使切 。 二 ， ， 口 切 ， 由上 面知有 ‘ 任 叮 ， 夕 日 卯 ‘ 一 ， 二了 。 、 ， ，再 由归设及 。 对 产 一 有 ， 宁 满 足甲〔 〕 ， 由 定义有 ， 满 足 切 。 易证 ‘ 一 。 。 下面 考虑 对 “ 一 ” 的 归纳 对原子 命题 的 “ 一 ” 前面 已经 考虑 若 一 甲 。 分 如下 几仲 情 形考虑 切 一 功 ， 叻 。 住 知 被 数 举 为 沪 ， 诬， 。 ， ， ， 叨 二 由 夕 。 二 夕 。 口 一 劝 任 ， 一 功 一 为功被枚 举为切 ， ， ’ ， 日 劝 任 ， 价任 夕 、 ， 曲 归设有 ， 满足叻、 ， 满足 犷 。 甲二 少 ， 同理有 。 任 夕 · ‘ ，， 由中 定义 有八 卯 任 夕 二 ， 由 ， 及归设 夕 为对 少 巾 ， ，即 才 ， 满足八 补 由此 得 ， 满足 必 沪 。 ， 对 一 切 三 一 人由 ， 一 亘却 ， 一 切 。 ， 用 一 。 类似 可证 。 下面 考虑 切 二 切 。 同理 ， 这时有 一 华 。 任 。 、 ， ， 由上面 可知 这 时有’ 。 夕 。 ，日 切 习 。 二 ， 一 冲 ， 这 时若 有 ， 满足 笋 。 由 。 的 的 定 义及 归设 有 ， 对某 任 ‘ 二 笋 则 对某 ， ‘ 任 。 任 ， ‘ ， 月 ， 。 满 足切 。 、 ， 但 ， 叮 满 足切 。 ， 得 出矛盾 ， ’ 且 ， 叮 满 足 。 ， 。 由 的 定义及 的定义 及 二 被 ， 满 足可 看 出 侧 ， 的 是 一 个理 恕 模型 。 弓

2Lw1w(Q)中的推演完全性定理 工1(Q)与M1(Q)的定义与模型存在定理证明中的相同，L“1(Q)中的公理与推理 规则1中已叙述。 定义2.1：我们说L。1(Q)巾一模型(A,q)为理想模型当仅A是L.1.中的一个模型， 是A的论域A的子集族，并且： (1)若S∈q,S三t则t∈q。 (2)若SLt∈g,那么或S∈q或t∈q。 (3,对每-一a∈A,{a}g。 Q-量词的满足定义如下： (A,q)满足QXg(X)←→{b∈A:(A,q)满足(b)}∈q。 定理2.1(Lm1(Q)中准演完全性定理)设g是L.1(Q)中一个命题，那么g9在L。1.(Q) 可证明当仅当p在所有的理想模型下真。 由于篇幅的限制，只给一个粗略证明。 证明“→”由Lm:(Q)中每一公理在任意模型下真及L。1-中推演规则的保真性，若9在 L。1,(Q)中可证则g在所有理想模型下真。 “→”设C是L。1外的新的可数常量符号集合，M=LC,中∈L1.(Q)则有在L1.(Q) 中可证当仪当g在M,"(Q)中可证。这是因为每一个L.1.(Q)中的证明是M1.(Q)中的证 明，而任何对的M。1。(Q)中的证明仅有可数个变元出现。这样可把证明中C的每一元秦换 为一个在证明巾不出现的变元。(L.1(Q)中有W,个变无)。而M.1。(Q)中公理与推理规 则仍为L。1.(Q)中的公理与推理规则，这样就得到在L。1(Q)中的一个证明。 先证明下面结论(I),(I): (I)用QXp(X)V~QX(X)+QX((X)V~中(X))可证 证明：~QXg(X)VQXp(X)可证 →~QXg(X)VQX的(X)V(p(X)∧~(X))可证 +~QXgp(X)VQX(X)VQX((X)∧~(X)可证 →QX(X)∧~QX(X)+QX(p(X)八~p(X)) (1)~QX中1(X)∧…八~QXp.(X)-→~QX(p,(X)V…Vp.(X) 由(A12)易证。 下面将引用模型存在定理，但对和谐性质定义中的9，作如下特殊选择：9，={t二C 月t-c:是无限集}。令S是M.1.(Q)中适合下述条件的所有石多可数句子集S,的集合，S, 的每个命题只含C,中有限多个元素，并且S,有如下性质： (i)S:=S:JQXg(X),..,Qxo.(X),~QXg+(X),...~QXp...(X)) {p:(c)lc∈t}J…J{.c)lc∈t,}U(~g.(c)lcet.1}l…LJ{~r..(c)l c∈tn+m}。 S.U{QXp1(X),,~QXp.(X)}=S,S,中只出现C的有限多元素这里t,∈qs, 1n。t:n+1jn+n是(c8)中的S型集合。t门1，=中，1i,in,i≠i。t,中仪有 c:中行限多元素，1i+m。令C={c在S,中非现}，hCt,=中，1一+. 386

中的推演完全性定理 · ， 。 旧 与五 ， 。 的定 义与模 型 存在定理 明 中 向相 同 ， ， ， · 中的公 理 与 推理 规 则 中已叙 述 。 定义 我 们说 。 ，。 中一模 型 ， 为理想 模型 当 汉当 是 。 ， 中的 一 个模 型 ， 是 的论 域 的子 集族 ， 并 且 ‘ 若 ， 互 则 。 若 日 任 口， 那 么或 任 或 口 。 ， 对 每 一 任 ， 冬夕 。 一显词 的满 足定 义如下 ， 。 满 足 叨 。 任 ， 满 足切 任 。 定理 二 ，二 中推演完全性定理 设 甲是 ，， 中一 个命题 ， 那 么 切 在 。 二 旧 ， ，可 正明 当 汉当卯在所 有 的理 想模型下真 。 由于篇幅 的限 制 ， 只 给 一个 粗 略证 明 。 证 明 “ ” 由 。 ， 。 中每 一公 理 在 任意模 型下真及 。 ，， 中推演规 则的保 真性 ， 若 ，在 。 旧 中可证 则’ 在所有理 想模型下 真 。 “ ， ” 设 是 二 。 外 的新的可数常量符 一 号集合 ， 引 ， 诱 。 ， 。 旧 则有，在 。 。 中可 证 当 仅 当甲在 · 口 中可 证 。 这是因为每一个 ， 中的证 明 是 中的证 明 ， 而 任何对 甲的 。 。 中的 证明仅有 可数 个变 元 出现 。 这 样 可把证 明 中 的每 一元素换 为 一 个在证 明 中不 出现 的变 元 。 ， 、 中有 牙 个变 无 。 而 。 ， 旧 中 公 理 与 推理 规 则 仍 为 。 。 旧 中的公理 与推 理 规 则 ， 这 样就得到 甲在 。 。 中的 一 个证 明 。 先证 明下面结论 ， 用 甲 一 价 ‘ 中 功 可证 证明 华 切 可证 一 华 丫 功 甲 八 一 吵 可证 一 一 切 叻 甲 八 一 叻 可证 、 切 八 功 中 八 叻 一 价 八 … 八 吵 、 价 … 叻 由 易证 。 下面将弓 用模 型存在定理 ， 但对 和谐性 质定义 中的 ， 作如下特 殊选择 ， 二 目 卜 。 、 是 无限 集 。 令 是 。 ，。 中适 合下述 条件的所有 至多 可数 句子 集 ‘ 的集合 ， 戈 的傣 个命 题只 含 中有限 多个元 素 ， 并且 ‘ 有如 下性 质 ， ‘ 了匕 毛 甲 ， ， … ， 甲 ， 叨 十 ， … ， 一 ， 日 切 、 日 … 、 。 。 任 。 七 一 一 ， ， 任 。 十 ， 七 … 匕 一 犷 。 ， 。 任 。 、 。 ‘日 、 ， ， … ， 一 。 ， 卜 ‘ ， ‘ 中只 舰 的 有时该 。 这…瞥 ， 的 ， ， · ‘ 一 。 。 ‘ 了 。 干 一 万 一 ” 十 ” 是 户 哟又 型 集 合 。 矛 ‘ 自‘ ， 祝 “ ， ‘ ” ， 芳’ ‘ 中仅有 中 仃限 多 元素 ， 一 一 ，， 沉 。 今 广 在 ‘ 中， ，现 ， 由 ， 、 沪 ， 一 一

C-(c:Ut..o)l=W。 (ii)没有~八S:在M中可证，这里~∧S:在M中可证是~∧S,在M.1(Q)中可证的简 写。 可以证明S是在Lm1m(Q)的模型存在定理证明中定义的和谐性质，即有性质(c1)~(C)。 对Vpa∈L。1.(Q),若没有m在L中可证，则没有~~g在M中可证，则没有~(~p八V Y~QX(X=Y)在M中可证，从而可知有{~g∧VY~QX(X=Y)}∈S,由模型存在定 理知理想模型(A,q)满足~g个(、”~QY(X=Y))。所以p不能在所有理想模型中真。 〔证完】。 参考文献 1 Bruce Kim B.J.Symbolic Logic.1978;43(2):304 2 Keisler H J.Model Theory For Infinitary Logic,North Holland,A mster- dam.1971.Chapter1,Chapter2 3 Chang CC,Keisler H J.Model Theory,North Holland,Amsterdam. Chapter 1-4.1973 4 Shoenficld J R.Mathematical Logic.by Addison-Wes!ey Puhlishing Com- pany,INC.1967 Chapter 1-4 wX%:001086064699108638604400168家：40K8408181840840810040860044010 86一4型不锈钢过滤器（止火管）的研制 A86一4型不锈钢过滤器为IHF:、HF2、HF,型千式回火防止器的心脏部件。而干式回 火防止器是装在乙炔瓶上，当气割、气焊操作时，用作防止氧一乙炔混合气体回火而发生 爆炸的安全装置。 其阴火的原理是因为不锈钢过滤器具有大量的开孔孔隙，且孔径细小曲折，并且有很好 的导热性。因此当火焰通过毛细管时产生热交换，使燃烧物热量通过多孔壁及邻近的结构 而散失，从而阻止燃烧过程的进行，使火焰熄灭。 在研制过程中采用水雾法粉，经粉末处理、混料、烧结等工序制成如下性能的制品： (1)压溃强度>117.6MPa (2抗张强度≥8~12MPa (3)当进气压力为0.147MPa时，过滤器两端压力差为0.049MPa时，诡量>8m3/h。 (1)连续止火次数>5次，寿命试验不低于25次，最多达540次。 经让一一年多的批量生产和使用，证明止火性能安全可靠。研制过程中，在国内首先采用 了水雾法不锈钢粉末，采用了先进的粉末表面处理和烧结技术，降低了成本，保证了产品质 量，户品的技术水平属国内领先地位。 80※必冷00格径论0》000200整冷洲000冷冷000粉※：路0器00器洲 387

一 ，口 … 口 】 平 。 没有 一 八 ‘在 中可证 ， 这里 八 ‘ 在 中可证是 八了 在 。 二 中 可 证 的 简 写 。 可 以 证明 是 在 ， ，二 的模型 存在定理证 明 中定义 的和谐 性质 ， 即有性 质 ， 。 。 对 甲。 。 。 口 ， 若没 有甲在 中可 证 ， 则没有 一 梦在 中可证 ， 则没有 梦八 犷 二 在 中可证 ， 从而 可 知 有 华八 一 ， 由模型 存在 定 理知 理 想模型 ， 满足 犷产 、 犷一 口工‘ 二 均 。 所以 甲不能在所有理想模 型 中真 。 〔证完〕 。 参 考 文 欲 夕 夕 口 。 五 · 了 · 吏 ， 月 汪 ， 人 、 ， ， ， 一 一 三 · 毛 几 。 只 · 一 、 ， 二 一 ，卜 少， 。 一 一 型不锈钢过滤器 止火管 的研制 一 型 不锈 钢过滤 器为 ， 、 、 型 干 式 回火 防止 器 的心胜部件 。 而千 式回 火 防止 器是装 在乙炔瓶上 ， 当气割 、 气焊操作时 ， 用 作 防止氧 － 乙炔 混合 气体 回火而 发 生 爆炸的安全 装置 。 其阻 火的原理是 因为不锈钢过滤器具有大量的开孔 孔 隙 ， 且孔 径细小 曲折 ， 并且有很 好 的导热性 。 因此 当火焰通过毛细 管时产 生热 交换 ， 使 燃烧物 的 热量通 过多孔 壁及邻近的结构 而散 失 ， 从而 阻止燃烧过程的进 行 ， 使火焰熄灭 。 在研制过程 中采用水雾法粉 ， 经粉 末处理 、 混料 、 烧结等工 序制成如下性能 的制品 一 压溃强度 、 抗张强度 、 当进 气压力 为 。 好 时 ， 过滤 器 两端压 力差 为 。 时 ， 流量 ” 厂 。 通 连 续止 火次数 次 ， 寿 命试验 不低于 次 ， 最 多达 次 。 经过 一年多的批量生产 和使 用 ， 证明止火性能安全 可靠 。 研 制过程 中 ， 在 国 内省 一 先采 用 了水 雾法不 锈钢粉 末 ， 采 用 了先进的粉 末表面处理和 烧结 技 术 ， 降低 了成本 ， 保 证 了产 品质 量 。 产 品的技术 水 平属 国 内领先地 位 。 心汉倪 二 ，拭 二《 ， 今 吧心》 别从 二公 沁 二心奋 ‘ 协 少沁沁卜沁卜》沁 伙 ，沁奋》 冲衬吞 袱 试心二心心洲沁 认 ，父砍 况 二召 》 卜卜沁 冬二’ 二 》 二心吞二《 大咬况奋 心卜备卜冬火咬