S.+1的存在性和和谐性质可以从定义香出。 现在证明对Vt∈qs,有t1∈qs:tCt且t∩c1=中。(t-c1∈qs,由qs的定义②或c1 ∈qs或t-C1∈qs由①知t-C:∈qs,令t1=t-C,即可。 定义S的模型A,g,令S。=US.,对c,d∈C令c~d当仅当c=d∈S。由c。知“~” 是c上一个等价关系。例如：。，i,eEC且c=dES,d=eES,那么c=eeX,对某m,c=e 是gm,取n≥m,便有c=d,d=e∈S,成立，由(c)②SU{c=e}∈S,因此SLI{c=e} ∈S且c=eeSm+1CSa。 用C记等价类{d:c∈C,c=d∈S。}.令A且有论域A={c:c∈C}。由(c)如果g (c1,…,c)∈S·c1~d:,…,c,~d,那么gm(d1,…dn)∈S。因此可以在A中解释 M.1.(Q)中的关系、常量符号使得： ⑧如果t是一个基本项，且c∈C,那么A满足c=t当仅当c=t∈S.。 ⑨如果R是一个n元关系符号且c1,,c,∈C,那么A满足R〔c:…,c门当仅当R(c1 …,c,)∈Sma 条件⑧，⑧定义了模型A中的函数及关系，常量。令9是A论域A的一个了集族.g= t,It'∈gs},t,'={c:ce',t'是9s的一个固定元素}。 下面证明A,q是S的模型，因此是S。的模型。对命题g的长度应用归纳法证明： 若g是原子命题，∈S.由定义知(A,g),(A,q)满足g。 若g为~po,p为原子命题，~gn∈S由(c1)p。年S由定义知(A,q)满足~4。→(A,q) 满足p。 对人Φ，VΦ，VX,aX的归纳由(C3)~(ca)易得。下面考虑对QX及~的归纳： 若QXg(X的∈S。,QXp(X∈Y被枚举为p,取n≥m,使p,∈S,SU{p.}∈S, 由上面知有t'∈qs,SLUJ{gp(c)|ce'-C,}CSn+1,再由归设及(c)对Vcet'-c:有(A, g)满足g〔c),由g定义有(A,q)满足Qxg(X)。易证t'-c:∈qs。 下面考虑对“~”的归纳：对原子命题的“~”前面已经考虑；若~p∈S。分如下几种 情形考虑： (i)p=~,~~的eSCY知被数举为pn,n≥m,m1,p.∈S.由(c2)Sm1二 S,U{(~)}∈S,(~)~为被枚举为gm1,SmU{(~)~}∈S→剪∈S。1+1,由 归设有(A,q)满足中→(A,g)满足~g。 (ii)~p三~V中，同理有(V)~∈S1+1,由p~定义有人~p∈S1+1,由(c)及归设 为对Vge中：(A,g)~m即(A,9)满足人~p,由此得(A,g)满足~VΦ=~p。 对~P三~八中，~IX(X),~VXP,(X),用(C)~(c)类似可证。下面考虑~g 号 ~QXg。(X) 同理，这时有~QXp(X)∈Sa+1,由上面(7)可知这时有Sa:Sm+L{~p(c)!c∈S。} CS.2,这时若有(A,q)满足QXgp。(Y)则对某t,'∈q:Vc∈t,',(A,q)满足g,(c),但 由S的的定义及归设有，对某c∈'：(A,q)满足g(c),得出矛盾，.（A,q)满足~QXgn (X)三心P. 由qs的定义及q的定义及下Y~QX(X=Y)被(A,9)满足可看出(A,q)是一个理模型。 385夕 、 的存在性和和谐性质可以从定义 着出 。 现 在证 明对 叮 ， 有 ， 任 守 ，已 且 ，自。 ， 诱 。 一 。 ， 任 口夕 ， 由 的定义骨或 。 任 宁 或 一 任 ， 由①知 一 ， 令 ， 一 ，即可 。 定义 。 的模型 ， ，， 令夕 。 。 ， 对 ， 令 一 当仅 当 二 任 夕 。 。 由 。 。 知 “ 一 ，， ” 。 是 上一 个等 价关 系 。 例如 。 ， ， 任 且 。 夕 。 ， 。 任 夕 。 ， 那 么 。 。 ， 对某 。 ， 。 二 是切 ， 取 。 。 ， 便 有 ， 任 。 成立 ， 由 。 ②夕 ， 日 任 ， 因此夕 ， 口 任 夕且 。 夕 。 任夕 。 。 用 记等 价类 己 。 任 ， 。 二 任 夕 。 。 令 且有 论 域 。 。 由 。 如果 切 “ ， … ， · 夕 。 ， 一 ， … ， ， 一 。 ， 那 么笋以 ， … 。 夕 。 。 因此 可以 在 「 解释 。 ，。 旧 中 的关系 、 常 量符号 使得 ⑧如 果 是 一 个 墓本项 ， 且 。 ， 那 么 满 足 二 ⑨如 果 是一个 。 元关 系符号 且 。 ， ， … ， 。 ， ， 当仅 当 夕 。 。 那 么 满 足 〔 … ， 。 。 〕 当仅 当 。 一 ， 。 任 夕 。 。 条 件 ⑨ ， ， 声 产 任 回 定义 了模型 中的函数及 关 系 ， 常 量 。 令 是 论 域 的一 个 一 子集族 ， 二 。 。 任 ， ， ， 是口 的一 个 固定元 素 。 下 面 证 明 ， 是 。 的模 型 ， 因此是夕。 的模型 。 对命题切的长 度应 用 归纳 法 证 明 若甲是 原子命题 ， 甲 任 。 由定义 知 ， ， ， 满 足切 。 若华为 一 沪。 ， 切 。 为原子 命题 ， 一 甲。 。 由 切 。 在夕 。 由定义 知 ， 满 足 一 子 。 ， 帅 满 足甲 。 对八小 ， 小 ， ， 互 的 归纳 由 住 。 易得 。 下面 考虑对 及 的 归纳 若 介 任 。 ， 沪 被枚举为切。 ， 取 。 。 ， 使切 。 二 ， ， 口 切 ， 由上 面知有 ‘ 任 叮 ， 夕 日 卯 ‘ 一 ， 二了 。 、 ， ，再 由归设及 。 对 产 一 有 ， 宁 满 足甲〔 〕 ， 由 定义有 ， 满 足 切 。 易证 ‘ 一 。 。 下面 考虑 对 “ 一 ” 的 归纳 对原子 命题 的 “ 一 ” 前面 已经 考虑 若 一 甲 。 分 如下 几仲 情 形考虑 切 一 功 ， 叻 。 住 知 被 数 举 为 沪 ， 诬， 。 ， ， ， 叨 二 由 夕 。 二 夕 。 口 一 劝 任 ， 一 功 一 为功被枚 举为切 ， ， ’ ， 日 劝 任 ， 价任 夕 、 ， 曲 归设有 ， 满足叻、 ， 满足 犷 。 甲二 少 ， 同理有 。 任 夕 · ‘ ，， 由中 定义 有八 卯 任 夕 二 ， 由 ， 及归设 夕 为对 少 巾 ， ，即 才 ， 满足八 补 由此 得 ， 满足 必 沪 。 ， 对 一 切 三 一 人由 ， 一 亘却 ， 一 切 。 ， 用 一 。 类似 可证 。 下面 考虑 切 二 切 。 同理 ， 这时有 一 华 。 任 。 、 ， ， 由上面 可知 这 时有’ 。 夕 。 ，日 切 习 。 二 ， 一 冲 ， 这 时若 有 ， 满足 笋 。 由 。 的 的 定 义及 归设 有 ， 对某 任 ‘ 二 笋 则 对某 ， ‘ 任 。 任 ， ‘ ， 月 ， 。 满 足切 。 、 ， 但 ， 叮 满 足切 。 ， 得 出矛盾 ， ’ 且 ， 叮 满 足 。 ， 。 由 的 定义及 的定义 及 二 被 ， 满 足可 看 出 侧 ， 的 是 一 个理 恕 模型 。 弓