会得出代数数,而不需要引入什么新的数了 也许我们能够现在就停下来,认为实数域的构造完成了, 并且因此把所有的代数数的集合当作连续统? 众所周知,我们不能这样做,并且也熟知为什么不能这 样做.如果对于至今为止许多代数理论而言可以满足于我们 所构造的数的话,则恰恰是对于分析而,限于代数数是完 全不行的、问题在于:数学分析的第一步就要对于初等代数 运算添加基本的且是最重要的分析运算—一极限过程.有很 多情形,有完全具体的理由迫使我们去了解这个或那个数序 列极限的存在,况且,这个极限显现在我们面前是作为有着 具体的且是现实的意义的数,而且在今后我们还期望对它进 行代数运算和分析运算.如果事情是这样的;任何我们认为 应当具有确定的极限的代数数序列,其极限实际上同样存在 于代数数的范围之内,则就可以假设代数数这个范围也就是 连续统除代数数之外,数学分析不再需要任何其他的实数 但事情并非这个样子如果我们取一个半径为1的圆,并 且作出其内接正多边形,无限地增加其边数,则所有这些多 边形的周长都可以用代数数表示,这个数序列的极限我们称 之为圆周长.否认这个极限存在就意味着几何学中不准说到 圆周的长度,你们容易想象得出,这种禁令不仅使几何学,而 且使所有其他用到园形的精确科学都会崩溃. 与此同时,可以证明,在代数数中是没有这个极限的摆 脱这种情形的出路在哪里?出路很明白.我们不得不承认,对 于数学分析而言只有一种代数数是不够的,必须再给它添加 新的实数.所有这些非代数数的实数通常称为“超越数”.我 们上面构造的数(半径为1的圈的周长)表示成2丌,即是说 π是一个超越数.在分析中另一个重要的超越数的例子是熟 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cnPDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn