录 第三版序言 ……………………………1 第一版序言 2 第一讲连续统…………………… 1 第二讲极限……………24 第三讲函数……………… 50 第四讲级数……………… 81 第五讲导数…………………… 114 第六讲积分………… 152 第七讲函数的级数展开………… 193 第八讲微分方程 … 227 译后记 257 PDF文件使用"pdfFactory'”试用版本创建www.fineprint.com.cn
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连续统 第一讲 连续统 为 什么数学分析必须从研究连续统开始?一—为什么没有 完整的实数理论的建立是不能研究连续统的?一无理数的 构造.—一连续统理论,一基本引理. 为什么数学分析必须从研究柴蜿开始?“变量y称 为变量x的函数,如果对于变量x的每一个值,量y都有唯 确定的值与之对应”可以把这句话当作是开启高等数学领 域的大门:借助于这句话我们可以定义最重要的、最首要的 数学分析概念—函数关系概念,在此概念中,已经奠定了 借助数学工具来把握自然现象和技术过程的完整思想的萌 芽.这就是为什么我们必须毫不含糊地要求这个定义有完全 的、无可指责的明确性;其中的每一个字都不应引起一点怀 疑的阴影.在此,极小的一点歧义都可能危及所构筑的整个 庄严的大厦,这个大厦是科学,它就是以此概念为基础建造 起来的,歧义会使得这座大厦成为不完善的,需要从根本上 重建 而同时我们开始时作的那个简单的表述,在进~步地研 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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第一评 究时,在许多地方是含义不明的并且容许不同的解释.我们 在这里只注意这种不清楚的地方之一,因为恰恰是试图把这 点的内容最后弄清楚,把我们紧紧地引向我们今天的讲义 的对象 我们的定义包含了这样的字眼:“对量x的每灬个值”, 为了不留下任何含糊之处,我们必须无条件地要求给大家解 释清楚术语“变量的值”的意义、但这还是小事,在我们的 定义中说到的是“每一个值”出此得知:要想充分了解这个 定义,貝掌握量x的某些个别的值的概念是不够的.最要紧 的是,我们应当完全精密地理解这些值的整个集合,整个的 “蓄积”,这些值中的任何一个都应当有一个确定的量y的值 与之对应.我们应当了解在数学分析中称为已知函数的“定 义域”的,是什么东西. 什么是变量的个别的值?我们知道,这就是数如果是 这样,则所有这些值的集合就是某些数的集合一某个所谓 的数集.这个集合是什么样的?它包含有什么样的数?我们 从一开始就排除了考虑虚数,而假设所有的量x和y的值都 是实数.那么,所有的实数都可以作为量x的值吗?如果不 是,那么什么样的可以而什么样的不可以呢? 关于所有这一切在我们的定义里什么也没有说,而这是 完全明白的,因为不可能对所有的函数都用同一方式回答这 个问题(而实质上甚至对同一个函数在不同的问题中也不 行).函数的定义域既取决于该函数的性质,也取决于那些特 定的问题,正是为了解决这些问题我们才在当前的研究中需 要这个函数,因为很容易明白,同一个函数在不同的问题中 是对不同的自变量值进行研究的、对所有这一切我们知道许 多例子,例如:函数y=x!(至少在初等数学范围内)只对 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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连续统 正整数x研究才有意义;函数y=1x只对x>0有意义,等 等.可以容易地想出这种例子,其中函数的自然定义域会是 结构十分复杂的数集 但是,如果我们自问:不仅在数学分析本身中,而且在 其应用中,我们实际上最常见的量x的值的集合是什么样 的?则我们应该说:在绝大多数情况下,函数的这类定义域 是“区间”(闭的或开的),即介于两个已知数之间的所有实 数的集合(包含或者除去这两个数)有时这个区间成为半直 线(例如:x>0),这就表明,量x的值的集合是大于(或 者小于)某个数的所有实数的集合(有时条件>或<要代之 以条件≥或者≤).最后,还有这样的情形,即区间变成为整 个直线,即量x的值可以是所有的实数.这时则说函数的定 义域是整个实轴或者“数直线” 无论如何,我们看到,对于数学分析中的函数而言,函 数在其上发展且展示其个别的特点的那个域、那个场地,函 数在其中才能成为自然科学的和技术的强大数学武器的载 体,都是所有实数的集合.这个集合在数学中被称为连续统 确切些说是线性连续统).完全像培育植物之前,必须仔细 地研究土壤一样,在高等数学中我们期望热心人依靠科学,而 不是只靠碰运气的庄户人,在以函数关系概念为基础建筑这 个科学的整个大厦之前,应当以仔细的方式研究这个概念赖 以生存和发展的载体.这就是为什么在所有的认真地科学地 编成的数学分析教程中,连续统都是第一个研究对象.且只 有当其本质以及性质被充分掌握之后,才可能转而进人对函 数关系概念的根本的研兖.而连续统的结构并不像我们初看 时设想的那么简单.展现在我们眼前的实数世界是一个复杂 的、富含各种各样细节的结构.对它作全面的研究,直到现 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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第一讲 在还不能认为科学巳经完成了这件事 为什么泛有究的实數覆论的定立是不能研窕庵鴃堯 的?这样一来,连续统是什么样的?存在着什么样的实数? 何时以及为什么我们才可以相信已经实际上掌握了所有实数 的全部? 在初等代数里,我们掌握了全部有理数的集合,即所有 的整数和分数,既有正的,而且也有负的.但很快地我们就 开始注意到这些数对我们来说是不够用的这是什么意思?为 什么不能只局限于有理数呢?我们不能这样做是因为在有理 数中没有例如√2这个数,即找不到平方等于数2的有理数 而为什么必须有这样的数呢?因为就是边长为1的正方形的 对角线恰好有长度√2.因而如果我们否定了这个数的存 在,则我们对几何学中如此简单地产生的线段的长度,就不 能以任何数来表达了显然,在这样的基础上度量几何就不 可能得到发展这就是说,√2应当在实数中找到其位置但 在有理数中是没有它的位置的因此我们称该数为无理数但 是这个√2绝对不会只满足于我们只是承认它的存在:它马 上就会开始要求,首先在有理数中间给它找到完全确定的位 置,即准确地指出什么样的有理数小于它以及什么样的有理 数大于它(例如√2>1-正方形的对角线大于其边).其 次,它要求我们要学会对它进行运算,就像对有理数一样,还 要与有理数的运算相容(例如:正方形的边与对角线的和等 于1+√2,这要求我们对这个数也赋予意义,即把它归并 人实数集合之中)新数的所有这些要求都完全是根本性的并 且是合理的,而且如果我们目前还不回答这些问题,则这只 是因为我们马上还要引入另外的许多新数进入到我们的领 域,它们全部都亳无例外地将对我们提出这样的要求,所以 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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连续统 最筒单的办法是在今后同时满足所有这些新数的要求,前不 对每一个数个别地处理其细节 在√2以后,我们的领域中自然的且是不可避免的要包 含所有的有理数的平方根(正的和负的),然后是立方根以及 般的所有形如 (1) 的数,其中,是任意的正有理数,而n是任意的一个≥2的整 数.但如众所周知,事情还不只这些.像前面作出正方形的 对角线的表示一样,还有许多具体的问题要求我们在一系列 情况下把全部代数方程的根作为新的数,只要已知方程在我 们已经引进的数中没有根,就会发生这样的情况,因为我们 又不能否认这些根存在,不能剥夺某些完全具体确定的量具 有数的特征 让我们在此方向上进行到底我们称形如P(x)=0的方 程的所有根(实的)为代数数,其中的P(x)为带整系数的任 意的多项式,并且把所有的实的代数数都引人我们的领域特 别地,我们因而把所有形如(1)的数引人了我们的领域因 为数r可定义为方程gx-p=0的根,其中2=r是有理 数r的通常的分数表示,作为更为特殊的情况是任何有理数 r=上作为方程qx-p=0的根也应屏于代数数的集合之 中 可以很容易将代数数的整个领域进行所谓“排序”即指 明一个法则使得对任意两个代数数都能确定谁大谁小;稍微 困难但还不太复杂的是确定一个法则对这些数进行任何通 常的代数运算,使得这些运算的结果始终仍然是代数数因此 这是很重要的关键一对代数数进行代数运算永远只 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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会得出代数数,而不需要引入什么新的数了 也许我们能够现在就停下来,认为实数域的构造完成了, 并且因此把所有的代数数的集合当作连续统? 众所周知,我们不能这样做,并且也熟知为什么不能这 样做.如果对于至今为止许多代数理论而言可以满足于我们 所构造的数的话,则恰恰是对于分析而,限于代数数是完 全不行的、问题在于:数学分析的第一步就要对于初等代数 运算添加基本的且是最重要的分析运算—一极限过程.有很 多情形,有完全具体的理由迫使我们去了解这个或那个数序 列极限的存在,况且,这个极限显现在我们面前是作为有着 具体的且是现实的意义的数,而且在今后我们还期望对它进 行代数运算和分析运算.如果事情是这样的;任何我们认为 应当具有确定的极限的代数数序列,其极限实际上同样存在 于代数数的范围之内,则就可以假设代数数这个范围也就是 连续统除代数数之外,数学分析不再需要任何其他的实数 但事情并非这个样子如果我们取一个半径为1的圆,并 且作出其内接正多边形,无限地增加其边数,则所有这些多 边形的周长都可以用代数数表示,这个数序列的极限我们称 之为圆周长.否认这个极限存在就意味着几何学中不准说到 圆周的长度,你们容易想象得出,这种禁令不仅使几何学,而 且使所有其他用到园形的精确科学都会崩溃. 与此同时,可以证明,在代数数中是没有这个极限的摆 脱这种情形的出路在哪里?出路很明白.我们不得不承认,对 于数学分析而言只有一种代数数是不够的,必须再给它添加 新的实数.所有这些非代数数的实数通常称为“超越数”.我 们上面构造的数(半径为1的圈的周长)表示成2丌,即是说 π是一个超越数.在分析中另一个重要的超越数的例子是熟 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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迕续 悉的数e=2.718…,正如称们了解的邢样,它也是从有理数 出发由简单的枞限过程产生的.c和π的超越性是很晚才被 证明了的,是在19世纪的后半叶.但是引进超越数的必要性 是较早…一些就被指出了的,是在19世纪的中叶,是在另一些 更简单的尽管不太重要的剑子中给出的(由法国数学家I orville作出). 这样,我们的连续统仍然还没有建成.继续下去,我们 应当怎样做呢?我们能否停留于此并且这样说:“连续统就是 所的代数数的全体,再加上“根据需要,把从代数数通过 极限过程得出的但其本身又不是代数数的数(像c和x)添加 进去(作为超越数)?”我们提出这个间题是因为大多数“简 易的”数学分析教程正是以此为基础编写的(当然,通常没 有明说)而回避了阐述完整的无理数理论 不,当然不能这样说,也不能停留在我们现在所在的地 方,对此有一系列简单的、有说服力的原因.首先,作为所 有实数的总体的连续统应当定义为某个固定的集合(例如:按 照上面作出的定义所有的代数数的集合的模式),而不留下以 后再给它添加越来越新的数的可能性.其次,在我们初步的 定义中字跟“根据需要”这个说法显然缺少准确的内容.如 果我们有一个没有代数极限的代数数的序列,或者认为它有 超越极限或者为它完全没有极限,从形式的观点来看,现在 我们有权任意地回答这个问题.如果不是从形式的考虑,而 是按照具体的现实的考虑来选取这个或那个解答,这种作法, 无论它们多么必要,在数学定义中都是不能容许的拒绝数 π的存在,在目前这是极为不利的.但在其他的情况下作类似 的否认可能不会带来任何不便,但是,显然地,那个使我们 “每当没有它就进行不下去”时就引人超越数的准则不论怎么 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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第一讲 说都不能成为数学准则最后,从哪里也不能得出,我们可 以满足于以这样的途径引入的数因为新的数还得进行加法 乘法,进行极限过程(对数学分析来说不允许对这些数进行 这些运算是什么也不能做的).由何处我们能够确倍,所有的 运算结果都将是我们的连续统的实数?而如果不是,则又要 补充它们,可见我们的连续统还没有包含所有的实数 因而我们看到,我们所持的立场是不能坚持的,在作出 一个或啊个超越数作例子,然后就说如此“等等”,这样是不 行的,因为我们刚刚已经看到,我们这样并没有定义任何连 续统 因而我们看到要对数学分析作完全的论证,就不可避免 地要建立实数的一般理论,这理论不能限于构造一些新数来 作为例子,而要包含这种构造方法的一般原则,按此原贿可 以刻画出所有实数的集合 无理数的构遼,在科学中有几个不同的连续统理论但 是所有这些理论—牢记这一点是很重要的一一在处理自己 的问题时在思想方面是完全一样的与这些原则性的统-比 较起来,对待它们之间的差别应当像我们在审查建筑物的建 筑设计时看待结构的细节一样 所有这些理沦都把有理数集合作为最初的数据而用统一 的构造原则从中得到所有实数的整个集合.这个原则的形式 在各种理论中是不同的,但是这些理论之间的相似之处还远 不止于我们所已指出的那些.问题在于:选择一种构造原则 以构造新的无理数,在所有的理论中,尽管存在着本质上的 形式上的区别,基础都是同一个思想.这个思想就是:在构 造新数时,基本解析运算极限过程起了首要的、主导的作用, 所遇到的种种方法,都可归结为它,而可看作它的特殊情形 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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连续统 你们知道,即使是整数的平方根也是适当选择的有理数序列 “近似根”)的极限,在另外的情形下也是这样的 根据上述,为了更具体地认识连续统理论的构造,没有 必要在细节上去研究所有这些不同的论证方法,而取其中的 一个作为模型就完全够了.我们在这里将要看到的所有原则 上重要的东西对其他理论都是问样的、我们今后将选择 Dedekind理论并不是因为它有什么它对其他理论本质上的 优越性,而只是一种纯粹外在的理由:占压倒多数的最通用 的教科书都采用它,因而对读者来说不难寻找帮助,读者在 那些书里能够了解我们的表述中漏掉的细节 1.在着手引入无理数之前,我们应当比较仔细地观察 下我们以R来表示的有理数的集合.首先我们来注意该集合 的一个很初等的性质:在任何两个有理数r1和r2之间总可以 找到第三个有理数最为简单的是,注意到和的一半互十 永远是位于n和r2之间的有理数,就可以明白这一点作为 这一事实的推论,我们对它重复应用马土就得出:在n1和r2 之间始终包含有有理数的无穷集 2.现在我们注意观察在我们试图寻找或者定义√2时 产生的那种情况(我们取的是正根),我们首先在有理数中 (对我们来说任何其他的数暂时还不存在)找这样的数,它的 平方等于数2,且容易发现,这种(有理)数不存在(我们在 这里将不进行中学教程中对此一事实的熟知的算术证明)这 就表明:无论我们选择什么样的有理数,我们都将有22.我们首先只研究正有理数的情形按照刚刚研究 的法则它们自然地分成两类:这样的正有理数r所成的A 类,其中r12<2,以及这样的正有理数r2所成的B类,对于 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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