第6章变分法与边值间题 通过求解一个相应的泛函的 极小函数而得到偏微分方程边值问 题的解,这种理论和方法通常叫作 偏微分方程中的变分原理,简称变 分方法。本章通过求解一类边值问 题和特征值问题简单介绍该方法的 理论及其应用
第6章 变分法与边值问题 通过求解一个相应的泛函的 极小函数而得到偏微分方程边值问 题的解，这种理论和方法通常叫作 偏微分方程中的变分原理，简称变 分方法。本章通过求解一类边值问 题和特征值问题简单介绍该方法的 理论及其应用
第6章变分法与边值间题 6.1边值问题与算子方程 6.1.1薄膜的横振动与最小位能原理 考虑张在平面有界区地!上的均匀薄膜在垂直于平面的外力作用下的 微小横振动,薄膜的边缘固定在上。利用微元分析法可得薄膜的总位能 为 E(u)=U-W 6.1.1) (up +u:)drdy-// F(a, y)udrdy 其中,T表示张力,F(xy)表示外力面密度,u(xκy)表示薄膜在点(x,y) 出垂直于平面方向的位移 由于薄膜边缘固定,叫y)m=0可见,(611)是定义在容许 K={u∈CH(m)la=0上的泛函
第6章 变分法与边值问题 • 6.1 边值问题与算子方程 • 6.1.1 薄膜的横振动与最小位能原理 考虑张在平面有界区域 上的均匀薄膜在垂直于平面的外力作用下的 微小横振动，薄膜的边缘固定在 上。利用微元分析法可得薄膜的总位能 为 其中，T 表示张力，F(x,y) 表示外力面密度，u(x,y) 表示薄膜在点 (x,y) 出垂直于平面方向的位移。 由于薄膜边缘固定, 故 可见, (6.1.1) 是定义在容许 函数类 上的泛函
第6章变分法与边值间题 类似于5.2.5小节中对 Dirichlet原理的讨论,可知泛函 (6.1.1)的极小函数就是 Poisson方程 Dirichlet问题 Au=F,x∈ 6.1.2) =0,x∈a0 的解;反之边值问题(6.1.2)的解u也是泛函(6.1.1)的极小函 数,即 wen 于是,我们可以用变分方法得到边值问题(6.1.2)的解.值得注 意的是,为了保证极小函数的存在性,有时必须将容许函数类扩大 此时我们得到的不一定是边值问题的古典解而是弱解
第6章 变分法与边值问题 类似于5.2.5小节中对Dirichlet原理的讨论，可知泛函 （6.1.1）的极小函数就是Poisson方程Dirichlet问题 的解；反之边值问题（6.1.2)的解 u 也是泛函(6.1.1)的极小函 数,即 于是,我们可以用变分方法得到边值问题(6.1.2)的解.值得注 意的是, 为了保证极小函数的存在性,有时必须将容许函数类扩大. 此时我们得到的不一定是边值问题的古典解而是弱解
第6章变分法与边值问题 °6.1.2正算子与算子方程 我们称满足等式(Au,v)=(Av,u)的算子A为对称算子。 设A是定义在 Hilbert空间H的某一线性稠密子集DA上的线性算子 若对D任意元素u,有Aa,)≥0号成立当且仅当u=0,则称 A是正算子。 Au=f(ar). (6.15) 定理6.1.1(唯一性)若A是正算子,则方程(61.5)至多 有一个解∈DA 定理6.12(等价性)设A是对称正子,若方程(6.1.5)在 DA上有解v,则必是泛函 F(u)=(Au, u) (6.1.6) 的褆小函数;反之,若四∈DA是F(u)的裰小函数,则有
第6章 变分法与边值问题 • 6.1.2 正算子与算子方程 我们称满足等式（Au,v)=(Av,u) 的算子 A 为对称算子。 设 A 是定义在 Hilbert 空间 H 的某一线性稠密子集 上的线性算子， 若对 中的任意元素 u，有 且等号成立当且仅当 u=0, 则称 A 是正算子
第6章变分法与边值间题 应用 设?是(m≥2)中一有界区域,对于位势方程 △=f(x),r∈!, (6.1.7) 考虑三种基本边值问题的边界条件 (1) Dirichlet问题,ulan=0 ellmann 问题 (3)Rn题(份+o(rl)lm=0.m()≥md 取 Hilbet空间为Lg
第6章 变分法与边值问题 • 应用 取 Hilbet 空间为
第6章变分法与边值间题 △ 可以验证,它们各自对应的算子是正算子。对应于以上三种问题算 1n∈C (), ulao=0) pn={u|u∈C( dulao=0. 且/udr=0 D={u|u∈C2(D,(+o(r)) 于是,根据定理6.12,位势方程的三类边值问题的求解依次 分别化为下列泛函 9<D12-9)dy F(u)=/( F(u)=/( Du--2uf)dr, F(u)=/(Du 2-2uf)dx+/a(z)uds 分别在集合D1,Dn和D上求极小函数的问题
第6章 变分法与边值问题 可以验证，它们各自对应的算子是正算子。对应于以上三种问题算 子 的定义域分别为
第6章变分法与边值间题 613正定算子弱解存在性 设A是DA上的线性算子,若存在常数>0对任意a∈DA有 (A,u)≥?2(v,u) 则称算子A是pDA上的正算子。 在D4上引入新内积 [u, U =(Au, u). 6.1.10 由此内积诱导的新范数记为 A D A 按此范数把DA完备化,得到一个新的 Hilbert空间,记为H
第6章 变分法与边值问题 • 6.1.3 正定算子 弱解存在性 设 A 是 上的线性算子，若存在常数 对任意 有 则称算子 A 是 上的正算子。 在 上引入新内积 由此内积诱导的新范数记为
第6章变分法与边值间题 定理6..3(极小函数存在性)若A是对称正定算子,则泛 函F(u)在,中存在机小函数 定理6.4(极小化序列的收性)若A是对称正定算子, 则F(u)的每个机小化序列接Ⅲbert空间H中的范数也按H 中的范数收敛于泛函F的极小函数v0 例6.11算子-△在线性集合D1上是正定的 例612算子一△在线性集合D上是正定的 例61.3算子一△在线性集合D上是正定的
第6章 变分法与边值问题
第6章变分法与边值间题 下面讨论重调和算子△2,设表示二维平面上一有界区域 在内考虑重调和方程的边值问题 △2u=f,(x,y)∈!2cR2 0 (6.1.16) 其中,是09的单位外法向 设D是满足下列条件的函数的集合 (i)在上四次连续可微; (i)在O!?上满足(6.1.16)中的边界条件 例6.1.4算子Δ2在线性集合D上是对称正定算子
第6章 变分法与边值问题
第6章变分法与边值间题 62 Laplace算子的特征值问题 本节考虑如下的 Laplace算子特征值问题: △u=Aa,x∈g (6.21) 0,x∈g 其中,?CR"(n≥3)是有界区域 若有实数A及函数u∈H}(,u≠0.,满足 A Du Dodr=A uo dz, Yo e HA(@2), (6.2.2) 则称入是 Laplace算子-Δ的(广义)特征值,而称u是(算子 △的)对应于待征值A的(义)特征函数
第6章 变分法与边值问题 • 6.2 Laplace 算子的特征值问题 本节考虑如下的Laplace 算子特征值问题：