《偏微分方程》第5章位势方程 本章介绍位势方程 △=f(x) 它是椭圆型方程的典型代表.当∫(x)不恒等于零时,称它为Pois son方程;当∫()≡0时,称方程为调和方程,它是本章主要讨 论的对象,其具体形式为 a2 △ ∑ 0 (5.0.1) 其中,n维自变量x=(x1,x2,……,n)∈CRn.称(50.1) 的解α为!中的调和函数
《偏微分方程》第5章 位势方程
《偏徼分方程》第5章位势方程 如果u∈C2(),并且在!中满足 -△u≤0C≥0), (5.0.2) 则称是9中的下调和(上调和)函数 平面区域上的调和函数已在复变函数论中讨论过,我们将主 要讨论R(≥3)中的情况,如无特别指明,本章中Ω均指连 通区域
《偏微分方程》第5章 位势方程
《偏徼分方程》第5章位势方程 5.1基本解 调和方程的基本解在对方程及其解的研究中有重要的作用, 利用基本解及 Green公式可以获得调和函数的一些基本的性质. 5.1.1基本解 Green公式 1.基本解 记R(n≥2)中两点x与y的距离为 2- 下面,我们求调和方程的径向对称解.令=(r),代入 (5.0.1)得 (r)+ U(7
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《偏微分方程》第5章位势方程 基本解 a-y ,7>2 k(a- y) (51.1) T 其中 2r() 2丌 (5.1.2 表示R中单位球的体积.特别地,有
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《偏微分方程》第5章位势方程 2 Green公式 △dx d-/Du·Ddx,(51.5) VaUde=h ou ds/ Dv·Duda (5.1.6) 二式都叫做 Green第一公式,(5.1.5)式与(5.1.6)式相减,得 (u△U-△u)dr=/(ax-0)dS.(5,7) 此式称为 Green第二公式
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《偏微分方程》第5章位势方程 3.调和函数的基本积分公式 ak (r-y) O O k(a- y) as or)ds (5.19) +/k(x-y)△dx,y∈s 此式称为u(y)的(reen表示.特别地,若在3中△=f,则 (5.19)式右边第二个积分 k(x-y)△dx k(a-y)f()dx 叫做具有密度∫的 Newton位势.如果在32上具有紧支集 则由(51.9)得 A(a-m△ uI aa (5.1.10)
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《偏徼分方程》第5章位势方程 如果u在内调和,从(51.9)就得到调和函数的基本积分公式 0 a u(y)=/( ak(a-y) -k(r-y)o)ds .1.11 av 它说明,对于在Ω上有连续二阶偏微商的调和函数u,它在区域 内任一点y的值,可用此函数及其法向微商在区域边界a92上 的值通过积分式(51.11)来表示,另外,由(5.1.4)知,对如此光 滑的调和函数成立积分等式 ds=0 (5.1.12) 其中,D是O9的单位外法向
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《偏微分方程》第5章位势方程 51.2平均值等式 定理5.1.1(平均值性质)设∈C2(),在!中满足 0(≤0,≥0) 则对任何一个球BP(y)cC9,有 (y)=(≤,≥) -I/ uds,,,, (5.1.13) 0B (y)=(≤,≥) (5.1.14) B R 当等号成立时,本定理叫做调和函数的平均值定理
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《偏微分方程》第5章位势方程 5,13最大最小值原理及其应用 利用定理5.11,对下(上)调和函数可以导出强最大(最小) 值原理. 定理512(下(上调和函数的强最大(小)值原理)设u 是Ω2(!可以无界)内的下(上)调和函数,且存在y∈,使 u(y)=sup u(u(y)=inf u) 则u是常数
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《偏微分方程》第5章位势方程 由上述强最大最小值原理,立即能推出下述弱最大最小值原 理(证明留作练习) 定理513(下(上)调和函数的弱最大(小)值原理)设? 有界,u∈C()∩C2(9),-△u≤0(≥0),则成立 max u=max(min u= min
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