2006年线性代数考研题 1.(0623409)设A= E为2阶单位矩阵,B满足BA=B+2 B|=() 解应填2 由BA=B+2E得B(A-E=2E,于是 B4-E|=2,即B A-E 2.(06-1,2,3,404)设a,2,…c为n维列向量,A是×"矩阵,则正确选项是 (A)若喁,巛2…,巛3线性相关,则Aa,A…,Aa线性相关 B)若a1 c线性相关,则A1,Aa2…,Ac2线性无关 (c)若a1,a2…a线性无关,则Aa,Aa2…Aa2线性相关 ①D)若a,a,…,《1线性无关,则AB1,Aa2…,Ac1线性无关 由娲1,a2…a3线性相关可得:存在常数k1,k2…,k不全为0,使得 11+k2a2+…+k,a2=0 左乘A得kAa+k2Ac1+…+k,Aa=A02=0m 由此可得A娓1,A媽…,Aa3线性相关 3.(06-1,2,3,4-04)设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的 1倍加到第冽列得C,记P=010,则 (A)C=PTAP;(B)C=PAP;(C)C=P AP;D)C=PA 解应选(B B,而P=1,2(1)],所以 即C=B|010|=BE(12(-1)=
故C=BP+=PAP1 4.(06-1,209)已知非齐次线性方程组14x1+3x2+5x2-x4=-1有3个线性无关的 (1)证明方程组系数矩阵A的秩为2; (2)求a,b的值及方程组的通解 (1)设A=435-1,B=-1.又设5,与是方程组4x=6的?个线 13b 性无关的解则员一5,5一是齐次方程组Ax=0的两个銈性无关的解故 又因为A的一个阶子式≠0,所以r(A≥2.因此r(A=2 (2)(AB=435-1}-1|→01-1 5 3|=B 由r(4)=2得4-2a=0,4a+b-5=0,解得a=2,b=-3.此时 B=01-15-3 故Ax=B的通解为x ++k2(k,k2为任意常数) 5.(061,2-09)(06-3,4-13)设猕实对称矩阵A的各行元素之和为3,向量 a=(-1,2,-1),a2=(0,-1,12是线性方程組Ax=0的两个解 (1)求A的特征值与特征向量; (2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QAQ=A (3)求A及A-E,(数学三、四)
解(1)由A的各行元素之和为3,得A1=3=31,即2=3是A的特征值, a=1是对应的特征向量,全体特征向量为ka(k≠0),又由叫1线性 无关和A1=0=0G,Aa2=0=0c2知a,2是A对应重特征值1=A2=0 的特征向量:全体特征向量为k+k22(k1,k2不全为0) (2)对a1,G2正交化 0,1) 5,5 再将员1,52,a3单位化 A=5=一(-2,-1)2,A=D B 1/6-1/√21 0 今Q=2/6013,A 则Q2A 1/61/13 (3由Q2AQ=A可得A=QAQ2=111.于是 E=0(A--2Q 2 e 6.(06-34-13)设4维向量组 a
间a为何值时,a3,a,&,线性相关?当a,,3,∝线性相关时,求其一个最大无关 组,并将其余向量用该最大无关组线性表示 法!记A=(a,a,a,a),则A=(a+10)a2,当a=0 a1a,&,线性相关 (1)当a=0时,a是a,a&,a的一个最大无关组,且有 =31,叫=4c1 (2)当a=-10时, 1-834 0-1000 A 010-1 0000 所以a,叫,《是a,,《,《的最大无关组,且有a=-1-a2-ay 法2记A=(a,,2,),则 12+a34 123 00 34 23 4+ 1234+ +2r2 000 00-a(a+10 (1)当a=0时,r(4=1,a1,a,—3,a1线性相关 此时,是一个最大无关组,且有a1=24,&=341,《=4a 234+a (2)当a≠0时,A 若a≠-10,r(A=4,于是鹆,a2,3,c线性无关
若a=-10,r(A=3,于是,2,,线性相关此时,a,a,是a1,a 的最大无关组,且有 1231-6)(100-1 010:-1行010:-1 000:0 000:0 故4=-a-a2-a2
