练习6-2 1.求图中各画斜线部分的面积 y y=e
练习 6-2
2.求由下列各曲线所围成的图形的面积 (1)y=1x2与x+y2=8(两部分都要计算 (2)y=与直线=x及x2; (3)y=e,y=ex与直线x=1 (4)y=nx,y轴与直线y-hna,y=nb(b>a>0 3.求抛物线y=x2+4x-3及其在点(0,-3)和(30)处的切线所围 成的图形的面积 4.求抛物线y2=2px及其在点(,p)处的法线所围成的图形的 面积. 5.求由下列各曲线所围成的图形的面积 De=acos 0 (2)x=acos't, y=asin't (3)0=2a(2+cosO)
6.求由摆线x=( fsin t),y1=a(1-cos)的一拱(0≤2n与横轴所 围成的图形的面积 7.求对数螺线ρ=ae(丌及射线Gx所围成的图形面积. 8.求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积 (1)3cos0及=1+cos (2)p=v2sinO及p2 9求位于曲线y=ex下方,该曲线过原点的切线的左方以及x轴 上方之间的图形的面积 10.求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的 最小值. ll.把抛物线y2=4ax及直线x=x(xn>0)所围成的图形绕x轴旋 转,计算所得旋转体的体积. 12.由ν=x3,x2,1=0所围成的图形,分别绕x轴及ν轴旋转,计 算所得两个旋转体的体积 13.把星形线x23+y23=a3所围成的图形绕x轴旋转,计算所 得旋转体的体积 14.用积分方法证明图中球缺的体积为r=mr(R-2) 15.求下列已知曲线所围成的图形,按指定的轴旋转所产生的 旋转体的体积 (1)y=x2,x=y2,绕y轴
(2)y=ach3,y0,ra,y=0,绕x轴; (3)x2+(y-5)2=16,绕x轴 (4)摆线=a(t-sin,==a(1-cos的一拱,y0,绕直线y=2a 16.求圆盘x2+y2≤a2绕x=b(b>a>0)旋转所成旋转体的体积 17.设有一截锥体,其高为h,上、下底均为椭圆,椭圆的轴长 分别为2a、2b和24、2B,求这截锥体的体积. l8.计算底面是半径为R的圆,而垂直于底面上一条固定直径 的所有截面都是等边三角形的立体体积 19.证明由平面图形0ax≤b,0y≤fx)绕ν轴旋转所成的旋转 体的体积为T=2zxf(x)kh 20.利用题19和结论,计算曲线=inx(0s≤m)和x轴所围成的 图形绕ν轴旋转所得旋转体的体积 21.计算曲线y=hx上相应于√3xs8的一段弧的长度 2.计算曲线y=(3-x)上相应于1≤-3的一段弧的长度 23.计算半立方抛物线y2=2(x-1)被抛物线y2=截得的一段 弧的长度 24.计算抛物线y2=2px从顶点到这曲线上的一点M(x,y)的弧 长 25.计算星形线x=acos3t,y=asn3t的全长
26.将绕在圆(半径为a)上的细线放开拉直,使细线与圆周始终 相切,细线端点画出的轨迹叫做 ∫x=a(os+tiny ly=a(sint-tcosr) 圆的渐伸线,它的方程为 x=a(cost+tsint), v=a(sint-tcosn) 计算这曲线上相应于t从0变到r一段弧的长度 27.在摆线=a(-8in1,y=a(l-cost)上求分摆线第一拱成1:3的 点的坐标 28.求对数螺线p=e相应于自=0到=q的一段弧长 29.求曲线p1相应于自O=,至O=4的一段弧长 30.求心形线p=a(1+cosO)的全长 练习6-3 1.由实验知道,弹簧在拉伸过程中,需要的力F(单位:M与伸 长量s(单位:cm)成正比,即F=ks(k为比例常数).如果把弹簧由原长 拉伸6cm,计算所作的功 2.直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10Ncm2的蒸 汽.设温度保持不变,要使蒸汽体积缩小一半,问需要作多少功? 3.(1)证明:把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功 是=m8h R+h 其中g是地面上的重力加速度,R是地球的半径: (2)颗人造地球卫星的质量为173kg,在高于地面630km处进 入轨道.问把这颗卫星从地面送到630的高空处,克服地球引力要 作多少功?已知g=9.8ms2地球半径R=6370kn
练习 6-3
4.一物体按规律x=cr作直线运动,媒质的阻力与速度的平方 成正比.计算物体由x0移至ra时,克服媒质阻力所作的功 用铁锤将一铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉击入 木板的深度成正比,在击第一次时,将铁钉击入木板lcm.如果铁锤 每次打击铁钉所做的功相等,问锤击第二次时,铁钉又击入多少? 6.设一锥形贮水池,深15im,口径20n,盛满水,今以唧筒将水 吸尽,问要作多少功? 7.有一闸门,它的形状和尺寸如图,水面超过门顶2m.求闸 门上所受的水压力 8.洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体,尺寸如图所示.当 水箱装满水时,计算水箱的一个端面所受的压力 9.有一等腰梯形闸门,它的两条底边各长10m和6m,高为 On.较长的底边与水面相齐.计算闸门的一侧所受的水压力 10.一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片,铅直地沉没在水 中,顶在上,底在下且与水面平行,而顶离水面3cm,试求它每面所 受的压力 ll.设有一长度为厶线密度为μ的均匀细直棒,在与棒的一端 垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M,试求这细棒对质点M 的引力. 12.设有一半径为R、中心角为φ的圆弧形细棒,其线密度为常 数.在圆心处有一质量为m的质点F.试求这细棒对质点M的引 力 总习题六
总习题六
1.一金属棒长3m,离棒左端m处的线密度为p(x) kg/m).问x为何值时,[O,x一段的质量为全棒质量的一半? 2.求由曲线p= asine,p=a(cos+sinO(a>0)所围图形公共部分的 面积. 3.设抛物线y=ax2+bx+c通过点(0,0),且当x∈[0,1]时,y20. 试确定a、b、c的值,使得抛物线y=ax2+bx+c与直线x=1,1=0所围 图形的面积为4,且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小 4.求由曲线ν=x2与直线=4,x轴所围图形绕y轴旋转而成的 旋转体的体积 5.求圆盘(x-2)2+y2l绕y轴旋转而成的旋转体的体积 6.抛物线y=1x2被圆x2+p2=3所需截下的有限部分的弧长 7.半径为r的球沉入水中,球的上部与水面相切,球的比重与 水相同,现将球从水中取出,需作多少功? 8.边长为a和b的矩形薄板,与液面成a角斜沉于液体内,长边 平行于液面而位于深h处,设a>b,液体的比重为p,试求薄板每面 所受的压力 9设星形线x=acos3t,y= asin t上每一点处的线密度的大小 等于该点到原点距离的立方,在原点O处有一单位质点,求星形线 在第一象限的弧段对这质点的引力