2005年线性代数考研题 1.(05-1-04)设a,,&均为维列向量,记矩阵 A=(a,a2,a3),B=(a1+a2 +2《+4c2,a1+3a2+9) 如果A4=1,那么 由于B=(a1,a2)123=4123,取行列式即得+=423=2 2.(05-1-04)设A1,2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为 ,吗,则a,A(G1+a)线性无关的充分必要条件是[ C)1=0 解应选[B] 设k11+k2A(a1+)=0,整理得(k+k241)+k24a2=0.由于A1,22是矩阵A 的两个不同的特征值,所以对应的特征向量a,G线性无关,从而 k1+k241=0 k22 上面方程组只有唯一零解的充分必要条件是2≠0,这即是a1,A(a+a)线性无关的 充分必要条件 (05-1-04)设A为n(n≥2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B A,B·分别为A,B的伴随矩阵,则[] (A)交换A的第1列与第2列得到B (B)交换A的第1行与第2行得到B* (c)交换A的第1列与第2列得到-B*()交换A的第1与第2行得到-B 解应选[C] 记交换n阶单位矩阵的第行与第行得到的初等矩阵为E1,则B=E12A.注意到 E12|=-1,且E1=E1,则有 B=IBB-=EM AEr A-=EMAJAEM=-A'E2 故[C]对
4.(0510已知二次型∫(x1,x2,x)=(1-a)x+(1-a)x+2x+2(1+a)的秩 (I)求a的值 Ⅱ)求正交变换x=,把f(x1,x2,x3)化成标准形; l求方程∫(x1,x2,)=0的解 解(I)由于二次型∫的秩为2,对应的矩阵A=1+a1-a0的秩为2,所以有 Ⅱ)当a=0时,A A A-10=(2-2)22 可知A的特征值为A1=A2=2,A3=0 4的属于马1=2的线性无关的特征向量为 1=(11),功2=(0.0,1 A的属于3=0的线性无关的特征向量为 刀2=(-110 易见刀1,27两两正交 将刃,m2,乃单位化得 1)0,g2=(0,01 取Q=(q1q2,q2),则Q为正交矩阵 f(x1,x2,x)=A1y2+A2y2+4232=2y2+2y2
I法1在正交变换x=下,∫(1,x2,而)=0化成21+2y=0,解之得 n1=y2=0,从而 x=Q0=(1,92,91)0=y393=k(-11)0(k为任意常数 法2由于f(x,x,x2)=x+x2+23+2x2=0=(x+x2)2+2x2=0,所以 x1+x2 其通解为x=k(-110)2,其中k为任意常数 5.(05-1-09已知三阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵 B=246(k为常数),且 求线性方程组Ax=0的通解 解由于AB=O,故r(A+r(B)≤3,又由a,b,C不全为零,可知r(A≥1 当k≠9时,r(B)=2,于是r(4=1 当k=9时,r(B)=1,于是r(A=1或r(AD=2. 对于k≠9,由AB=O可得 由于功1=(12,3)2,2=(36,k)线性无关,故,2为Ax=0的一个基础解系,于是 Ax=0的通解为 x=c171+c272(c1c2为任意常数) 对于k=9,分别就r(4D=2和r(4)=1进行讨论 如果r(A=2,则Ax=0的基础解系由一个向量构成.又因为A2=0,所以Ax=0 的通解为 x=c1(1,2,3)(c1为任意常数 如果r(A=1,则Ax=0的基础解系由两个向量构成..又因为A的的一行为(a,b,c)且 b,c不全为零,所以Ax=0等价于ax+bx2+Cx3=0,不妨设a≠0
刀1=(-b,a,0) 刀2=(-c,0,a)2是Ax=0的两个线性无关的解,故Ax=0的通解为 x=c171+c272(c1,c2为任意常数 6.(05-2-09)确定常数a,使向量组G=(114),a2=(1a,13,a=(a1,1)2可 由向量组A=(11a),月=(-2,a,4)属=(-2a,a)线性表示,但向量组A月,月不 能由a,a,《线性表示 解法1记A=(a,,a),B=(月,月,月),由于月,A,月不能由a,,线性表 示,故秩r(4<3,从而A=-(a-12(a+2)=0,所以a=1或a=-2 当a=1时,a=a==月=(11,故叫1,a,a可由月,属线性表示,但 月2=(-2,14)不能由a,2,c线性表示,所以a=1符合题意 当a=-2时,由于 1-2-2 1-2-2111-2 24-21-2 00010-33 考虑线性方程组Bx=a,因为秩r(B)=2,秩r(B'a)=3,所以方程组Bx=a无 解,即不能由,月,乌线性表示,与题设矛盾.因此a=1 法2记A=(a1,a,a),B=(月月,属),对矩阵(4B)施行初等行变换: (A:B) 111aa→0a-11-a;0a+2a+2 11 0a+2a+2 00-(a-1)(a+2)!03a+64a+2 由于A月,兵不能由a,c1,线性表示,故r(4<3,因此a=1或a=-2 111-2-2 4!B)=111:111→000:033 1 考虑线性方程姐Ax=A.由于r(A)=1,秩r(A月)=2,故方程组Ax=兵无解,所 以月不能由a,a,4线性表示,另一方面,由于|B=-9≠0,故Bx=4(=123有惟 解,即翌回中BBB转性表示,所以a=1符合题章
当a=-2时,由于 (A1B)=1-211-2-2|→0-331000 2111-24-2000100-6 考虑线性方程组Bx= (Ba2)=1-2-21-2→0001-3 00-6!0 由于秩r(B)=2,秩r(Ba)=3,故方程组Bx=a无解,即a不能由月月,月线性 表示,与题设矛盾.因此a=1 7.(05-3-04)设行向量组(2111,(21a,a),(3,21,a),(4,3,2,1线性相关,且a≠1, 应填 21aa五 00a-1a-1 A 110 4321 010 001 5uJ000(a-1(2a-1) 010 010 000 由于向量组线性相关,所以r(A0 又因为A1=Af=4E,两边取行列式得A41=14f,即A2=1A,从而 1.故
9.(05-313)已知齐次线性方程组 (i){2x1+3x2+5x2=0 X1 (c+1)x=0 同解,求a,b,c的值 方程组(ⅱ)的未知量个数大于方程的个数,故方程组(ⅱ)有无穷多个解.因为方 程組(i)与(ⅱ)同解,所以方程组(i)的系数矩阵的秩小于3.对方程组(i)的系数矩阵施 以初等行变换 123)(10 235 从而a=2 此时方程组(i)的系数矩阵可化为 故(-1-1)2是方程组(1)的一个基础解系 将x1=-1,x2=-1,x3=1代入方程组()可得 1,c=2或b=0,c=1 当b=1,c=2时,对方程组(iⅱ)的系数矩阵施以初等行变换,有 10 故方程组(1)与(i〕同解 当b=0,c=1时,方程组(i)的系数矩阵可化为 10 20
故方程组(i)与(ⅱ)的解不同. 综上所述,当a=2,b=1,c=2时,方程组(i)与(i)同解. 10.(05313)设D=AC 为正定矩阵,其中AB分别为m阶,n阶对称矩 阵,C为mXn矩阵. (1)计算PDP,其中P=E-fc E (Ⅱ)秤用(Ⅰ)的结果判断矩阵B-CAC是否为正定矩阵,并证明你的结论 解(I)因为P (cE,和 Em OA CE-A P DP E人CB八OEn C E-ACA O B-CAC/O E (Ⅱ)矩阵B-CAC是正定矩阵. 由(I)的结果可知,矩阵D合同于矩阵 O 又D为正定矩阵,可知矩阵M为正定矩阵 因为矩阵M为对称矩阵,故B-CAC为对称矩阵,对x=(.…)及任意的 y=(y1y2,…,y)2≠0,有 0B-CTA-C 即y(B-CIAC)y>0.故B-CAC为正定矩阵 11.(05404设AB,C均为n阶矩阵,E为阶单位矩阵,若B=E+AB C=A+CA,则B-C为[] (A)E (B)-E (C)A 应选[A 由B=E+AB得(E-AB=E,即B和E-A可逆,且B=(E-A-,而由 C=A+CA得C(E-A=A,即C=A(E-A-.于是 B-C=(E-A)--A(E-A)-(E-A(E-A)-=E
12.(05-413)设A为三阶矩阵,,,为线性无关的三维列向量,且满足 Aa1=a+a+&,Aa2=2a2+, Aa= 2a+3a (I)求矩阵B,使得A(a,,媽)=(a,a,a)B; (Ⅱ)求矩阵A的特征值; )求可逆矩阵P,使得P-AP为对角矩阵 可知 B=122 (Ⅱ)因为a,a,c是线性无关的三维列向量,可知矩阵C=(a1a,c)可逆,所以 CAC=B,即矩阵A与B相似.由此可得矩阵A与B有相同的特征值 E-B|=-12-2-2=(2-12(2-42=0 得矩阵B的特征值,也即矩阵A的特征值 A1=A2=1,=4 dID对应于1=2=1,解齐次线性方程组(E-B)x=0,得基础解系 应于2=4,解齐次线性方程组(4E-B)x=0,得基础解系=(0,1).令矩阵 Q=(5,b2,) 011 100
因为QBQ= eC AcQ=( CD-A(cQ,记矩阵 P=CQ=(a,a,a)101=(-a+a2-2a++c) 故P即为所求的可逆矩阵
