2004年线性代数考研题 1.(041.04)设矩阵A=120,矩阵B满足ABA=2BA+E,其中x为 A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则B 解应填 可求得团A=3.给等式ABA=2BA+E两边左乘矩阵A并利用AA=|4|E=3E 得3AB=6B+A,于是3A-2E)B=A,即B=(A-2E)A.故 A-2E) 3-2E5 2.(04-1-04)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加 到第3列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为[] (A)100(B)101(c100()100 记初等矩阵E=100,E2-|011,则由题设条件得B=AE1 C=BE2,于是C=BE2=AE1E2=AQ,其中 010Y/100)(011 Q=E1E2=100011 3.(04-1-04)设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有[ (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关 ①D)A的行向量组銈性相关,B的列向量组线性相关 解应选[A] 设A是mn矩阵,B是n×s矩阵,由于它们是非零矩阵,所以r(4>0 r(B)>0;又由AB=O知r(A+r(B)≤n,从而r(A<n,r(B)<n,故A的列向量 组线性相关且B的行向量组线性相关
4.(04-1-09)没有齐次线性方程组 (1+a)x1+x2+…+x2=0, (2+a)x2+…+2x2=0 (n≥2) 0 试司a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解. 解法1对方程组的系数矩阵A作初等行变换,有 2 当a=0时,r(A=1<n,故方程组有非零解,其同解方程组为 x1+x2+…+x 由此得基础解系为 刀=(-110…,0),2=(-101,…0),…,刀n=(-10,0,…1, 于是方程组的通解为 x=k阴+…+k21(k1,…,k1为任意常数) 当a≠0时,对矩阵B作初等行变换,有 +1) 210 可知a= 时,P(A=n-1<n,故方程组也有非零解,其同解方程组为 0 由此得基础解系为 是方程组的通解为 x=k7(k为任意常数)
法2方程组的系数行列式为 22+a2 +1)、x-1 当A=0,即a=0或a=2(+ 2时,方程组有非零解 当a=0时,对系数矩阵A作初等行变换,有 故方程组的同解方程组为 由此得基础解系为 刀=(-1.10.…,0)2,刀2=(-10.…,0)2,… (-1,0.0.…1) 于是方程组的通解为 x=十…十k2男21(k1…,k1为任意常数) 当a=_x(2+少时,对系数矩阵A作初等行变换,有 2+a 故方程组的同解方程组为 2x1+x2=0 由此得基础解系为
于是方程组的通解为 x=k(k为任意常数) 5.(0+19)矩阵A4=|-14-3的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论 A是否可相似对角化 解A的特征多项式为 1 λ-5-1-aA 0 -2)11-43=(-2)1A-33 =(-2)(x2-8+18+3a) 若λ=2是特征方程的二重根,则有22-16+18+3a=0,解得a= 当a=-2时,A的特征值为2,2,6,矩阵2E-A=1-23的秩为1,故 12-3 λ=2对应的线性无关的特征向量有两个,从而A可相似对角化 若λ=2不是特征方程的二重根,则12-81+18+3x为完全平方,从而 18+3a=16,解得a=、2 A的特征值为2,4,4,矩阵4E-A=1 3的秩为2 λ=4对应的线性无关的特征向量只有一个,从而A不可相似对角化 6.(04209)设有齐次线性方程组 1+a)x1+x2+x3+x4=0, 2x1+(2+a)x2+2x3+2x4=0 3x1+3x2+(3+a)x3+3x4=0 4x1+4x2+4x+(4+a)x4=0 试可a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解
解法1对方程组的系数矩阵A作初等行变换,有 1+a11 22+a22 -2aa00 B 33+a 44+a 当a=0时,r(4=1<4,故方程组有非零解,其同解方程组为 x+x2+ 由此得基础解系为 =(-110,0,2=(-1010)2,乃3=(-1.0,1) 于是所求方程组的通解为 x=k+k2刃2+k7(k,k,k为任意常数) +100C0 2100 21C0 3010 30 0 40C 可知a=-10时,r(4=3<4,故方程组也有非零解,其同解方程组为 2x1+x2=0 4x1+x4=0. 得基础解系为 7=(12,34) 于是所求方程组的通解为 x=k(k为任意常数) 法2方程组的系数行列式 1+a111 22+a2 当A4=0,即a=0或a=-10时,方程组有非零解 当a=0时,对系数矩阵A作初等行变换,有
故方程组的同解方程组为 其基础解系为 刀1=(-110.032,n=(-10,1.0)2,3=(-1.0.0)x 于是所求方程组的通解为 x=阴十k刃2+k3(为任意常数) 当a=-10时,对A作初等行变换,有k,k,k 9111 2100 3010 4001 故方程组的同解方程组为 x2=2x1 其基础解系为 于是所求方程组的通解为 x=k刀(k为任意常数) 7.(04-3-04)二次型f(x1,x2,)=(+x)2+(x2-x3)2+(x3+x)2的秩为 解应填2 二次型展开整理得 f(x1,x2,x)=2x2+2x2+2x
从而二次型的矩阵为A=12-1.可求得r(A=2,故二次型的秩为 1-12 8.(04304)设n阶矩阵A与B等价,则必有[] (4当=a(≠0时, (B)当 (0当4=0时,团B=0 A4=0时,B 解应选[D] 当矩阵A与B等价时,只保证它们的秩相同,从而当4=0时,|B=0 9.(043-04设n阶矩阵A的伴随矩阵A≠O,若与,,号,是非齐次线性方程组 Ax=b的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系[] (A)不存在 (B)仅含一个非零解向量 (C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量 解应选[B] 由于A≠O,所以r(A)≥1;又由于Ax=b有互不相等的解,即有无穷多解,所以 r(A<n,故由矩阵及其伴随矩阵的秩的关系得r(A)=1,此时r(A=x-1.从而 Ax=0的基础解系仅含一个非零解向量 10.(04-3-13)设吲=(12.0)2,a2=(1a+2,-3a)2,=(-1-b-2,a+2b)2, B=(13,-3)2.试讨论当a,b为何值时, (1)F不能由,2,《线性表示; (Ⅱ)B可由G2,a,a惟一地线性表示,并求出表示式 (1)可由喁1,a2,‘线性表示,但表示式不惟一,并求出表示式 解设有数k1,k2,k,使得 k《十k2+k=月 (*) 记A=(a,,c).对矩阵(A月施以初等行变换,有 (A.A=|2a+2-b-213→0a-b 0-3xa+2b-3
(I)当a=0,b为任意常数时,有 (A,B→0 000 可知r(A≠r(A,.故方程组(*无解,β不能由a,a,《线性表示 (Ⅱ)当a≠0,且a≠b时,r(4=r(AB)=3,故方程组*有惟一解 k1=1-,k2=-,k 则阿可由,,《惟一地线性表示,其表示式为 (I)当a=b≠0时,对(A6施以初等行变换, B 可知r(A=r(A月=2.故方程组(*)有无穷多解,其全部解为 +c,k2=c(c为任意常数) B可由a,,线性表示,但表示式不惟一,其表示式为 B=(1--)a+(+c)a+c 11.(04-3-13)设n阶矩阵 (I)求A的特征值和特征向量 (Ⅱ)求可逆矩阵P,使得PAP为对角矩阵. 解(I)①当b≠0时
b-1 E =[λ-1-(n-1)b]λ-(1-b) 故A的特征值为λ=1+(n-1b,42=…==1-b 对于4=1+(n-D)b,设A的属于特征值λ的一个特征向量为啁,则 5=[+(-1b15 解得=(1…,12,所以全部特征向量为 k员=k(1…,1(k为任意非零常数 对于2=…=4=1-b,解齐次线性方程组[(1-b)E-Ax=0,由 b -b 1-b)E-=/-b-b b(00 解得基础解系 2=(1-10.…0)2,43=(10.-1…,0)2,…,E=(0.0 全部特征向量为 k252+k层…+k(k2…是不全为零的常数) ②当b=0时,特征值=…=2=1,任意非零列向量均为特征向量 Ⅱ)①当b≠0时,A有个线性无关的特征向量,令P=(4…),则 P1AP=diag(1+(n-1)b,1-b,…,1-b) ②当b=0时,A=E,对任意可逆矩阵P,均有PAP=E 注=(1…1也可由求解齐次线性方程组(4E一Ax=0得出 12.(040没A=|100,B=PAP,其中P为三阶可逆矩阵,则
应填030 可求得A2=0-10,于是 B204+-2A2=P1A20P-2A2=P(A200pP-2A2=P-EP-2A =E-2A2=010-20-10=030 13.(04404)设A=(a)3是实正交矩阵,且a1=1,b=(00)2,则线性方程组 Ax=b的解是 应填(10.0) 由于A是正交矩阵,所以AA=E,且42=1即A可逆,于是线性方程组Ax 有唯一解.又由ATA=E得a1+a21+a1=1,利a1=1.a21=a31=0,取 x=(1,0,0时满足Ax=b,故(0.0)是Ax=b的解 4.(044-13)设线性方程组 0 2x1+x2+x2+ 3x1+(2+2)x2+(4+A)石+4x4=1 已知(1-11-1是该方程组的一个解.试求 (I)方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解 (Ⅱ该方程组满足x2=的全部解 解将(1,-1-1)代入方程组,得=从对方程组的增广矩阵施以初等行变换,得 12110 10 A1-A-2 A=21 20→01 32+A4+A4 02(2A-1)2A-112 (I)当≠时,有