2003年线性代数考研题 1.(0310)从R2的基a1=(0 到基月=,A=。的过渡矩阵为 解应填 取R2的-0 ,则有 (1,a2)=(E1 3(0-,(AA)=(6(2 于是 A,月)=(a2,a2) 11=(a1a21(0-1 =(an1,a2 2.(03-1-04)设向量组I:喁,,…,《可由向量组Ⅱ:月,月…,月线性表示,则[] )当rs时,向量组Ⅱ必线性相关 ()当rs时,向量组I必线性相关 解应选[D] 利用已知结论“若向量组I线性无关,且可由向童组Ⅱ线性表示,则r≤s”的逆否命题 知[功]正确 3.(03-1-04)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为mXn矩阵,现 有4个命题 ①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩(A)≥秩(B); ②若秩(A)≥秩(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解 若Ax=0与Bx=0同解,则秩(A)=秩(B); ④若秩(A)=秩(B),则Ax=0与Bx=0同解 以上命题中正确的是[] (A)① (B)①③ ()②④ (D)③④ 应选[B]
若Ax=0的解均是Bx=0的解,则Ax=0的基础解系可由Bx=0的基础解系线性表示 于是n-r(4≤n-P(B),从而(4≥r(B),即①正确;利用①的結果即知③正确 4.(03-1-10设矩阵A=232P=101,B=PAP,求B+2E的 223 特征值与特征向量,其中A为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵 解法1经计算可得 70 100,B=PAP=-25-4 700 从而 B+2E=-25-4 E-(B+2E|=22-74=(1-92(-3) 故B+2E的特征值为99,3 当礼=λ2=9时,对应的线性无关特征向量可取为 所以对应于特征值9的全部特征向量为 刃+刃=1|+k0(k,是不全为零的任意常数) 当马=3时,对应的一个特征向量为乃=1,所以对应于特征值3的全部特征向量为 k刃3=与1(k2是不为零的任意常数
法2设A的特征值为,对应的特征向量为刀,即A刀=17.由于|4=7≠0,所 又因为AA=4E,故有7=1n于是有 B(Pn)=PAP(P切)=(Pn) (B+2EPn=(+2)P7 此,1+2为E+2E的特征值,对应的特征向量为P7,由于 E-4|=|-2-3-2|=(-12(- 故A的特征值为=2=1,4=7 当4=42=1时,对应的线性无关特征向量可取为 当4=7时,对应的一个特征向量为=1.由P=100,得 PT Pn2=|-1 因此B+2E的三个特征值分别为9,9,3 对应于特征值9的全部特征向量为 kP3十起P72=-1+b-1(是不全为零的任意常数) 对应于特征值3的全部特征向量为 P3男=1(是不为零的任意常欺
5.(03-1-08)已知平面上三条不同直线的方程分别为 4: ax+2by+3c=0, l2:bx+2cy+3a=0, 43: cx+2ay+ 36=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0 证法1必要性:设三直线412,3交于一点,则线性方程组 有惟一解,故系数矩阵A=|b2z与缩广矩阵不=|b2-3a|的秩均为2,于是 0.由于 =3a+b+c)[(a-b)2+(-c)2+(-a)2] 但(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0,故 充分性:由a+b+C=0,则从必要性的证明可知,冈=0,故秩(<3.由于 2=20-23(++641-2(a+2)+21=0 故秩(A)=2.于是 秩(4)=秩()=2 因此方程组(*)有惟一解,即三直线4,42,l2交于一点 法2必要性:设三直线交于一点(y),则y0为Ax=0的非零解,其中 A=b 2c 3a
于是A4 A= 2c 3a=-6(a+b+c)(a+b2+c2-ab-bc-ac a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(-a)2] 但(a-b)2+(b-c)2+(-a) b+c=0 充分性:考虑线性方程组 bx+ 2cy=-3a 将方程组(*)的三个方程相加,并由a+b+c=0可知,方程组(*)等价于方程组 2(ac-b2)=-2a(a+b)+b2]={a2+b2+a+b)21]≠0 故方程组(料)有惟一解,所以方程组(*有惟一解,即三直线4,42,2交于一点 6.(03204没设a为3维列向量,a2是a的转置若aa2=-11-1,则 解应填3 设a=(x,y,z),则由 a 可得x2 z2=1,于是
7.(03-2-04设三阶方阵A,B满足AB-A-B=E,其中E为三阶单位矩阵,若 0|,则 解应填 由AB-A-B=E得(A2-E)B=A+E,注意到A+E可逆,解得(A-E)B=E, 于是B=(A-E)-1,故 l=4-E) 11 8.(03210若矩阵A=82a相似于对角矩阵A,试确定常数a的值,并求可 006 逆矩阵P使PAP=A 解矩阵A的特征多项式为 E 8A-2 (-6[(4-2)2-16]=(-6)2(+2) 00 故A的特征值A1=2=6,4=-2 由于A相似于对角矩阵A,故对应于41=42=6应有两个线性无关的特征向量,因此矩阵 6E-A的秩应为1.从而有 6E-A=-84-a→00a 000 000 于是对应于4=2=6的两个线性无关特征向量可取为 51=04=|2 当4=-2时
2x1+ 解方程组 得对应于=-2的特征向量2 0 今P=02-2,则P可逆,并有PAP=A 9.(03-304)设n维向量a=(a,0,…,0,a)2,a<0;E为n阶单位矩阵,矩阵 A=E-aa、B=E+aa 其中A的逆矩阵为B,则a= 解应填-1. 注意到aa=2a2,则有 E=AB=(E-aa)(e+-aa)=E+-aa-aa-=aa aa E+-ac-ac-2aca=et (1+a)(1-2 2a)ad 从而a-aa=O,利用a<0和aa≠O得a=-1 10.(0304)设三阶矩阵A=b 若A的伴随矩阵的秩等于1,则必有[] (A)a=b或a+2b=0 (B)a=b或a+2b≠0 (C)a≠b且a+2b=0 (D)a≠b且a+2b≠0 解应选[C 由r(A')=1知r(A)=2,可求得
A=bab→a+2bab-0 a+2b a 0 于是,当a≠b且a+2b=0时,r(A)=2. 11.(03-3-04)设,a,…,《均为n维向量,下列结论不正确的是[] (A)若对于任一组不全为零的数k1,k,…,都有k1+k2+…+k《≠0,则 a2…a线性无关 (B)若3,a,…,《线性相关,则对于任意一组不全为零的数k,k,…k,有 k1+k21+…+k2=0 )a,…a线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s (D)a,…a性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关 应选[B]. 若a,a…a线性相关时,存在一组不全为零的数k1,k,…,使 k4+k2+…+ka=0,而不是对于任意一组不全为零的数k1,k,…k该式成立 12.(03-3-13)已知齐次线性方程组 (a1+b)x1+a22+2x3+…+a2x2=0 a1x1+(a2+b)x2+a3x3+…+ a11+a2x2+(a3+b)x 0 a1巧十a2+a33+…+(an+b)x2=0 其中∑a≠0.试讨论a1,a2,…,a和b满足何种关系时, (1)方程组仅有零解 (2)方程组有非零解.在有非零解时,求此方程组的一个基础解系 解方程组的系数行列式 a1 a2+b a3
(1)当b≠0且b+∑≠0时,r(4=n,方程组仅有零解 (2)当b=0时,原方程组的同解方程组为 0 由乙a≠0可知,a(=12…n)不全为零.不妨设≠0,得原方程组的一个基础解系为 a=(-当,1.…,0,=(2,01…,0,…,a1=(-2.0,…,1 当b=∑a时,有b≠0,原方程组的系数矩阵可化为 a1-∑吗 000 由此得原方程组的同解方程组为 原方程组的一个基础解系为 13.(03313设二次型f(x1,x2,x2)=x2Ax=ax2+2x2-2x2-2x1x3(b>0 其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12 (1)求a,b的值 (2)利用正交变换将二次型Jf化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵 解法1(1)二次型∫的矩阵为 o b A的特征值为3(=12,3由题设,有 0 b λ1+2+=a+2+(-2)=1,1424
2)由矩阵A的特征多项式 得A的特征值1=42=2,= 对于4=42=2,解齐次线性方程组(2E-Ax=0,得其基础解系 (2,01,2 对于=-3,解齐次线性方程组(-3E-Ax=0,得基础解系l2=(10,-2) 由于,5,号已是正交向量组,为得到规范正交向量組,只需将员,52,号单位化,由此得 2=(0.102=(,0, / 令矩阵Q=(12刃)=010,则Q为正交矩阵在正交变换x=下,有 200 2A0=020 且二次型的标准形为 f=22+2y2-33 法2(1)二次型∫的矩阵为A=020.A的特征多项式为 kE-4=0-20=(-20x2-(a-21-(2a+b2) b0λ+2 设A的特征值为4,,则=2,+4=a-2,44=-(2a+b2),由题设得 41+2+12=2+(a-2)=1,444=-2(2a+b2)=-12