练习7-1 1.设=ab+2c,v=a+3b-c.试用a、b、c表示2n-3y 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分,试用向量证明这 是平行四边形 3.把△ABC的BC边五等分,设分点依次为D1、D2、D、D4,再 把各分点与点A连接.试以AB=c、BC=a表示向量DA、D2A、D2A DA 4.已知两点M1(0,1,2)和M(1,-1,0).试用坐标表示式表示向 量MM2及-2MM2 5.求平行于向量a=(6,7,-6)的单位向量 6.在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限? A(1,-2,3);B(2,3,-4)C(2,-3,-4D(-2,-3,1) 7.在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征?指出下 列各点的位置: A(3,4,0;B(0,4,3)C(3,0,0);D(0,-1,0) 8.求点(a,b,C关于(1)各坐标面;(2)各坐标轴;(3)坐标原点的对 称点的坐标 9.自点P0xm,1,z0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线,写出各 垂足的坐标 10.过点P0(x,w,z0)分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面 的平面,问在它们上面的点的坐标各有什么特点?
练习 7-1
ll.一边长为a的立方体放置在xOv面上,其底面的中心在坐标 原点,底面的顶点在x轴和y轴上,求它各顶点的坐标 12.求点M(4,-3,5)到各坐标轴的距离 13.在1O面上,求与三点A(3,1,2)、B(4,-2,-2)和C(0,5,1) 等距离的点 14.试证明以三点4(4,1,9)、B(10,-1,6)、C(2,4,3)为顶点的三 角形是等腰三角直角三角形 15.设已知两点M(4√2,1)和M(3,0,2)计算向量MM2的模、 方向余弦和方向角 16.设向量的方向余弦分别满足(1)cosa=0;(2)cosB1 (3)cosc=cos/=0,问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何? 17.设向量r的模是4,它与轴u的夹角是60°,求r在轴u上的 投影 18.一向量的终点在点B(2,-1,7,它在x轴、y轴和z轴上的投 影依次为4,-4,7.求这向量的起点A的坐标 19.设m=3i计5+8k,n=247k和p=5计4k.求向量 a=4m+3np在x轴上的投影及在y轴上的分向量 练习7-2 1.设a=3ij2k,b-计+2k,求(1)ab及ab:(2)(2a)-3b及a2b (3)a、b夹角的余弦 2.设a、b、c为单位向量,且满足a+b+c=0,求ab+bc+ca
练习 7-2
3.已知M(1,-1,2)、M2(3,3,1)和M(3,1,3.求与MM2、 M2M3同时垂直的单位向量 4.设质量为100kg的物体从点M(3,1,8)沿直线称动到点 M(1,4,2计算重力所作的功(长度单位为m,重力方向为二轴 负方向) 5.在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1的点P1处,有 与OP成角O的力F1作用着;在O的另一侧与点O的距离为x2的点 P2处,有一与OP成角O的力F1作用着.问B、、x、、{F、F 符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡? F 6.求向量a=(4,-3,4)在向量b=(2,2,1)上的投影 7.设a=(3,5,-2,b=(2,1,4),问与有怎样的关系,能使得 a+b与x轴垂直? 8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角 9.设已知向量a=2i3计k,b=ij3k和c=i计算: (1)(ab)c(a·c)b: (2)(a+b)×(b+c) (axb)c 10.已知O4=计+3j,OB=+3k,求△OAB的面积
12.试用向量证明不等式 何++aV+b+b2a+a+ab, 其中a、a2、a3、b1、b2、b3为任意实数,并指出等号成立的条件 练习7-3 1.一动点与两定点(2,3,1)和(45,6)等距离,求这动点的轨迹 方程. 建立以点(1,3,-2)为球心,且通过坐标原点的球面方程 3.方程x2+y2+2-2x+4y+2==0表示什么曲面? 4.求与坐标原点O及点(2,3,4)的距离之比为1:2的点的全体所 组成的曲面的方程,它表示怎样曲面? 5.将xOx坐标面上的抛物线=2=5x绕x轴旋转一周,求所生成 的旋转曲面的方程 6.将zOx坐标面上的圆x2+=2=9绕z轴旋转一周,求所生成的 旋转曲面的方程 7.将xOy坐标面上的双曲线4x2-9y2=36分别绕x轴及v轴旋 转一周,求所生成的旋转曲面的方程 8.画出下列方程所表示的曲面
练习 7-3
(5)二=2-x2 9.指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别 表示什么图形 (2)=x+1 (3)x2+y2=4 (4)x2-y2=1 10.说明下列旋转曲面是怎样形成的 (4)(二-a)2=x2+y2 ll.画出下列方程所表示的曲面: (1)4x2+y2-2=4; 4-2=4 练习7-4 1.画出下列曲线在第一卦限内的图形:
练习 7-4
0 r+v4=a 2.指出下方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别 表示什么图形 y=2x-3 3.分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线 ∫2x2+y2+=2=16 的柱面方程. 4.求球面x2+y2+2=9与平面x+=1的交线在xOy面上的投影 的方程 5.将下列曲线的一般方程化为参数方程 x2+y2+z2=9 (2)(r-D)2+y2 x=acos 6.求螺旋线y=am在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标 c=6e 方程
7.求上半球0≤z≤√a2-x2-y2与圆柱体x2+y2≤a(>0)的公共 部分在xOv面和zOx面上的投影 8.求旋转抛物面==x2+y2(0≤≤4)在三坐标面上的投影
