第3章集合的基本概念和运算 第3章集合的基本概念和运算 3.1集合的基本概念与表示 32集合的基本运算 33集合元素的计数 34例题选解 习题三 dBac
第3章 集合的基本概念和运算 第3章 集合的基本概念和运算 3.1 集合的基本概念与表示 3.2 集合的基本运算 3.3 集合元素的计数 3.4 例题选解 习 题 三
第3章集合的基本概念和运算 3.1集合的基本概念与表示 些不同对象的全体称为集合,通常用大写的英 文字母A,B,C.表示 严格地说这算不得集合的定义,因为“全体”只 是“集合”一词的同义反复。在集合论中,集合是 个不能严格定义的原始概念(就像几何学中的点、线 面等概念)。对象:组成集合的元素。用小写英文字 母a,b,C.表示
第3章 集合的基本概念和运算 3.1 集合的基本概念与表示 一些不同对象的全体称为集合， 通常用大写的英 文字母A, B, C…表示。 严格地说这算不得集合的定义， 因为“全体”只 是“集合”一词的同义反复。 在集合论中， 集合是一 个不能严格定义的原始概念（就像几何学中的点、 线、 面等概念）。 对象： 组成集合的元素。 用小写英文字 母a, b, c…表示
第3章集合的基本概念和运算 如果a是A的元素,则记为a∈A,读作“a属于A〃 或“a在集合A之中”。 如果a不是A的元素,则记为agA或(a∈A),读 作“a不属于A"或“a不在集合A之中”。 其中“∈”表示一种关系 在我们所研究的集合论(古典集合论)中,对任 何对象a和任何集合A,或者a∈A或者a∈A,两者必居 其一且仅居其一。这正是集合对其元素的“确定性” 要求。随着科学的发展,由控制论的研究所引起的当 代数学的一个新领域—模糊集合论,所研究的不清晰 的对象构成的集合,不在我们讨论的范围内
第3章 集合的基本概念和运算 如果a是A的元素， 则记为 a∈A， 读作“ a属于A” 或“ a在集合A之中” 。 如果a不是A的元素， 则记为a A或 (a∈A)， 读 作“ a不属于A”或“ a不在集合A之中” 。 其中“∈”表示一种关系。 在我们所研究的集合论（古典集合论）中， 对任 何对象a和任何集合A， 或者a∈A或者a A, 两者必居 其一且仅居其一。 这正是集合对其元素的“确定性” 要求。 随着科学的发展， 由控制论的研究所引起的当 代数学的一个新领域——模糊集合论， 所研究的不清晰 的对象构成的集合， 不在我们讨论的范围内。
第3章集合的基本概念和运算 集合有三个特性:确定性、互异性和无序性 (1)确定性:a∈A或a∈A,二者必居其一并仅居其 (2)互异性:{1,2,3,2}与{1,2,3}视作一个集合 (3)无序性:{1,2,3}、{2,3,1}与{3,1,2}视 为一个集合 集合A中的不同的元素的数目,可称为集合A的 基数或者势,记为l。基数有限的集合称为有穷集合, 否则称为无穷集合。表示一个集合的方法通常有两种
第3章 集合的基本概念和运算 集合有三个特性： 确定性、 互异性和无序性。 (1) 确定性： a∈A或a A， 二者必居其一并仅居其一。 (2) 互异性： {1， 2， 3， 2} 与{1， 2， 3}视作一个集合。 (3) 无序性： {1， 2， 3}、 {2， 3， 1} 与{3， 1， 2} 视 为一个集合。 集合 A 中的不同的元素的数目， 可称为集合 A 的 基数或者势， 记为|A|。 基数有限的集合称为有穷集合， 否则称为无穷集合。 表示一个集合的方法通常有两种。
第3章集合的基本概念和运算 (1)列举法:将集合的元素列举出来并写在 个花括号里,元素之间用逗号分开。例如,设A是由 a,b,C,d元素构成的集合,B是由a,{b},{{c,d}为元素 构成的集合,则A={a,b,c,d},B={a,{b},{c,d}} 集合B说明集合也可用作元素,因此,尽管集合与其 元素是两个截然不同的概念,但一个集合完全可以成 为另一个集合的元素
第3章 集合的基本概念和运算 （1） 列举法： 将集合的元素列举出来并写在一 个花括号里， 元素之间用逗号分开。 例如， 设A是由 a, b, c, d元素构成的集合， B是由a, {b}, {{c, d}}为元素 构成的集合， 则A={a, b, c, d}, B={a, {b}, {{c, d}}} ， 集合B说明集合也可用作元素， 因此， 尽管集合与其 元素是两个截然不同的概念， 但一个集合完全可以成 为另一个集合的元素
第3章集合的基本概念和运算 列举法基本上用于有限集合,如果能说明集合的 特征,也可只列出部分元素,其余的用省略号表示。 如自然数集可用列举法表示为N={0,1,2,3,4,5,…} 根据所列元素,可判断N中的其余元素。 列举法使集合中的元素一目了然,但是元素个数 很多时使用起来就很麻烦,另外,有很多集合,如大 于0而小于1的所有实数的集合就不能用列举法表示。 为此引入另一种表示方法
第3章 集合的基本概念和运算 列举法基本上用于有限集合， 如果能说明集合的 特征， 也可只列出部分元素， 其余的用省略号表示。 如自然数集可用列举法表示为 N ={0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, 根据所列元素， 可判断 N 中的其余元素。 列举法使集合中的元素一目了然， 但是元素个数 很多时使用起来就很麻烦， 另外， 有很多集合， 如大 于0而小于1的所有实数的集合就不能用列举法表示。 为此引入另一种表示方法
第3章集合的基本概念和运算 (2)描述法:规定一个集合A时,将A中元素的 特征用一个谓词公式来描述,用谓词Px)表示x具有性 质P,用{x|Px)}表示具有性质P的集合A,即 A={xP(x)}。它表示集合A是使P(x)为真的所有元素x构 成的集合,P(x)是任意谓词。Pa)为真的充分必要条 件是a∈A,P(a)为假的充分必要条件是a∈A
第3章 集合的基本概念和运算 （2） 描述法： 规定一个集合A时， 将A中元素的 特征用一个谓词公式来描述， 用谓词P(x)表示x具有性 质P， 用{x|P(x)} 表示具有性质P的集合A, 即 A={x|P(x)}。 它表示集合A是使P(x)为真的所有元素x构 成的集合， P(x)是任意谓词。 P(a)为真的充分必要条 件是a∈A, P(a)为假的充分必要条件是a A
第3章集合的基本概念和运算 【例3.1.1】 (1)设P(x):x是英文字母,则S={xP(x)}表示26个英文 字母的集合 (2)N={(0,1,2,3,…}={x是自然数} (3)I={1,2,3,…}={xx是正整数} (4)I={…,-3,2,-1,0,1,2,3,…}={x|是 整数} 5 ,m-1}={xkx(N∧0≤x<m}
第3章 集合的基本概念和运算 【例3.1.1】 （1） 设P(x) :x 是英文字母， 则S={x|P(x)} 表示26个英文 字母的集合。 （2） N ={0， 1， 2， 3， …}={x|x是自然数} (3) I + ={1， 2， 3， …}={x|x是正整数} （4） I ＝ {…， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， …}=｛x|x是 整数｝ (5) Im ＝{0， 1， 2， …， m-1}＝{ x|x(N∧0≤x＜m}
第3章集合的基本概念和运算 (6)E={,-4,-2,0,2,4,…} ={xx是偶数} xkx∈I∧2x}(2x表示2整除x) (7)前n个自然数集合的集合 {xx=nn∈I"} ={lnn∈rn (In={0,1,2,…,n-1})
第3章 集合的基本概念和运算 （6） E ={…， -4， -2， 0， 2， 4， …} ＝{x|x是偶数} ={x|x∈I∧2|x} (2|x表示2整除x) （7） 前n个自然数集合的集合 ={{0}, {0 , 1}， {0， 1， 2}， …} ={x|x=In∧n∈ } ={In |n∈ } (In= {0， 1， 2, …,n-1}) n I n I
第3章集合的基本概念和运算 由此可见,表示一个集合的方法是很灵活多变的,必 须注意准确性和简洁性。为方便起见,本书中指定下 列常见数集符号: N( Natural)表示自然数集合(含0) I( Integer)表示整数集合,本书中我们也常用Z表示整 数集合 Q( Quotient)表示有理数集合 R(Rel)表示实数集合 C( Complex)表示复数集合 P( proton)表示素数集合
第3章 集合的基本概念和运算 由此可见， 表示一个集合的方法是很灵活多变的， 必 须注意准确性和简洁性。 为方便起见， 本书中指定下 列常见数集符号： N (Natural) 表示自然数集合（含0） I (Integer) 表示整数集合, 本书中我们也常用 Z表示整 数集合 Q (Quotient) 表示有理数集合 R (Real) 表示实数集合 C (Complex) 表示复数集合 P (proton) 表示素数集合