第4章二元关系和函数 第4章二元关系和函数 41序偶与笛儿积47序关系 4.2关系及表示 48函数的定义和性质 43关系的运算 49函数的复合和反函数 44关系的性质 4,10集合的基数 4.5关系的闭包 4.11例题选解 4.6等价关系和划分习题四 dBac
第4章 二元关系和函数 第4章 二元关系和函数 4.1 序偶与笛儿积 4.2 关系及表示 4.3 关系的运算 4.4 关系的性质 4.5 关系的闭包 4.6 等价关系和划分 4.7 序关系 4.8 函数的定义和性质 4.9 函数的复合和反函数 4.10 集合的基数 4.11 例题选解 习 题 四
第4章二元关系和函数 4.1序偶与笛卡儿积 定义411(有序对(或序偶), ordered pairs)由两个 元素x和y(允许x=y)按一定次序排列组成的二元组 {x},{xy}}称为一个有序对或序偶,记作 (x,y),其中x是它的第一元素,y是它的第二元素。 注意,第一、二元素未必不同
第4章 二元关系和函数 4.1 序偶与笛卡儿积 定义4.1.1(有序对(或序偶)， ordered pairs) 由两个 元素x和y（允许x=y）按一定次序排列组成的二元组 ｛｛x｝， ｛x,y｝｝称为一个有序对或序偶， 记作 〈x, y〉， 其中x是它的第一元素， y是它的第二元素。 注意， 第一、 二元素未必不同
第4章二元关系和函数 如平面直角坐标系中的任意一点坐标(x,y)均是 序偶,而全体这种实数对的集合 (x,y)p∈R∧y∈R}就表示整个平面。 有序对(x,y)具有以下性质: 1)当x时,(x,y)≠〈y,x) (2)〈x,y)=(u,v)的充要条件是x=u且y=v (3)〈x,x)也是序偶
第4章 二元关系和函数 如平面直角坐标系中的任意一点坐标（x, y）均是 序偶， 而全体这种实数对的集合 {(x, y）|x∈R∧y∈R} 就表示整个平面。 有序对〈x, y〉 具有以下性质： (1) 当x≠y 时， 〈x, y〉≠〈y, x〉。 (2) 〈x, y〉=〈u, v〉 的充要条件是x=u 且y=v。 (3) 〈x, x〉也是序偶
第4章二元关系和函数 这些性质是二元集(x,y}所不具备的。例如当 x力时有{x,y}={,x},原因是有序对中的元素是有序 的,而集合中的元素是无序的。再例如,{x,x} ={x},原因是集合中的元素是互异的 由性质(2)可推出(x,y)=(y,x)的充要条件 是x=y。有序对的概念可以进一步推广到多元有序组
第4章 二元关系和函数 这些性质是二元集｛x, y｝所不具备的。 例如当 x≠y 时有{x, y}={y, x}, 原因是有序对中的元素是有序 的， 而集合中的元素是无序的。 再例如， ｛x, x｝ ={x}， 原因是集合中的元素是互异的。 由性质(２)可推出 〈x, y〉=〈y, x〉的充要条件 是x=y。 有序对的概念可以进一步推广到多元有序组
第4章二元关系和函数 定义412(n元有序组)若n∈N且n>1,x1,x2, xn是n个元素,则n元组(x1,x2,…,xn)定义为 当n=2时,二元组是有序对〈x1,x2); 当n之2时,〈x12x2,…,xn〉 X1.x x n,).xn) 本质上,n元有序组依然是序偶
第4章 二元关系和函数 定义4.1.2(n元有序组) 若n∈N且n＞1， x1 , x2 , …, xn 是n 个元素， 则n 〈x1 , x2 , …, xn〉 定义为： 当n=2时， 二元组是有序对〈x1 , x2〉； 当n≠2时， 〈x1 , x2 , …, xn〉 =〈〈x1 , x2 , …， x n-1 〉, xn〉 本质上, n元有序组依然是序偶
第4章二元关系和函数 n元有序组有如下性质: 1. x xn2〉=(y1,y2,…,y,…,yn〉的 充要条件是 =y1,x2=y2, 前面提到,一个序偶(x,y)的两个元素可来自 不同的集合,若第一元素取自集合A,第二元素取自集 合B,则由A、B中的元素,可得若干个序偶,这些 序偶构成的集合,描绘出集合A与B的一种特征,称 为笛卡儿乘积。其具体定义如下:
第4章 二元关系和函数 n元有序组有如下性质： 〈x1 , x2 , …， xi , …, xn〉=〈y1 , y2 , …， yi， …， yn〉的 充要条件是 x1 =y1 , x2 =y2 , …, xi=yi , …, xn =yn。 前面提到， 一个序偶〈x, y〉 的两个元素可来自 不同的集合， 若第一元素取自集合A, 第二元素取自集 合B， 则由A、 B中的元素， 可得若干个序偶， 这些 序偶构成的集合， 描绘出集合A与B的一种特征， 称 为笛卡儿乘积。 其具体定义如下：
第4章二元关系和函数 定义413设A,B为集合,用A中元素为第一元素, B中元素为第二元素构成有序对。 所有这样的有序对组成的集合称为集合A和B的笛 卡儿积( cartesian product),又称作直积,记作AXB A和B的笛卡儿积的符号化表示为 A×B={(x,y)r∈A∧y∈B}
第4章 二元关系和函数 定义4.1.3 设Α, Β 为集合， 用Α中元素为第一元素， Β中元素为第二元素构成有序对。 所有这样的有序对组成的集合称为集合Α和Β的笛 卡儿积(cartesian product) ， 又称作直积， 记作Α×Β。 Α和Β 的笛卡儿积的符号化表示为 A×B={〈x, y〉|x∈A∧y∈B}
第4章二元关系和函数 定义414(m阶笛卡儿积( cartesian product)若n∈N, 且n>1,A1,A2,…,An是n个集合,它们的n阶笛卡儿 积记作A1×A2×…,×An2并定义为 A1×A×..×A (x1,x2…,xn)kx1∈A1∧x2∈A2…,xn∈An} 当41=42=An=4时,A1×A2×,×A2简记为An
第4章 二元关系和函数 定义4.1.4 (n阶笛卡儿积(cartesian product)) 若n∈N， 且n＞1， A1 , A2 , …, An是n 个集合， 它们的n 阶笛卡儿 积记作A1×A2×…×An , 并定义为: A1×A2×…×An ={〈x1 , x2 , …, xn〉|x1∈A1∧x2∈A2 , …, xn ∈An} 当A1 =A2=…=An =A时，A1×A2×…×An简记为An
第4章二元关系和函数 【例4.1.1】设A={1,2},B={a,b,c},C={}, R为实数集,则 (1)A×B={(1,a),(1,b)〉, 〈2.b〉 〈2.c B×A={〈a,1),〈b,1〉,〈c,1),〈a,2 〈b2〉,〈c,2〉} ×A=C
第4章 二元关系和函数 【例4.1.1】 设A=｛1, 2｝， B=｛a, b, c｝， C=｛ ｝, R为实数集， 则 （1） A×B=｛〈1, a〉， 〈1, b〉， 〈1, c〉， 〈2, a〉， 〈2, b〉， 〈2, c〉｝ B×A＝｛〈a, 1〉， 〈b, 1〉， 〈c, 1〉， 〈a, 2〉， 〈b, 2〉， 〈c, 2〉｝ ×A=
第4章二元关系和函数 (2)A×BXC=(A×B)XC={(1,a,⑧), 〈2,a,g),〈2,b,g C, A×(BXC)={(1,〈a,⑧〉),(1,(b,②〉 (1,〈c,g〉〉,(2,(a,〉 〈2,〈c,〉〉} (3)A2={〈1,1〉,(1,2),〈2,1〉,〈2,2 (4)B2={(a,a),(a,b),(a,c) C b,b〉,〈b,c),〈c,a),〈c,b),〈c,c)}
第4章 二元关系和函数 （2） A×B×C=(A×B)×C=｛〈1, a, 〉， 〈1, b, 〉， 〈1, c, 〉， 〈2, a, 〉， 〈2, b, 〉， 〈2, c, 〉｝ A×(B×C)=｛〈1, 〈a, 〉〉， 〈1, 〈b, 〉〉， 〈1, 〈c, 〉〉， 〈2, 〈a, 〉〉， 〈2, 〈b, 〉〉， 〈2, 〈c, 〉〉｝ （3） A 2={〈1, 1〉, 〈1, 2〉, 〈2, 1〉, 〈2, 2〉} (4) B 2={〈a, a〉, 〈a, b〉, 〈a, c〉, 〈b, a〉, 〈b, b〉, 〈b, c〉, 〈c, a〉, 〈c, b〉, 〈c, c〉}