练习12-11 1.试用幂级数求下列各微分方程的解: (1)y-xy-x=1 (2)"+xy+y=0; (3)xy"-(x+m)y+my=0(m为自然数); (4)(1-x)y=x2-y; (5)(x+1)y=x-2x+y 2.试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的解
练习 12-11
(1)y=y+x,yx=0=2 (2)(1-x)y+y=1+x,yx0=0; (3)2,y+ cost=0,x10=a dt 总习题十二 1.填空 (1)y"+2x2y2+x3y=x4+1是阶微分方程;
总习题十二
(2)若M(x,y)dx+Nx,y)h=0是全微分方程,则函数M、N应满 足; ()与积分方程y=∫(xy)等价的微分方程初值问题是 (4)已知y=1、=x、y=x2是某二阶非齐次线性微分方程的三个 解,则该方程的通解为 2.求以下列各式所表示的函数为通解的微分方程: (1)x+C3+y2=1(其中C为任意常数; (2)=C1e+Ce(其中C1、C2为任意常数) 3.求下列微分方程的通解:
(1)xy2+y=2y (2)xy'lnx+y=ax(Inx+1) dy dx 2(Iny-x) 0 (5)xdx+ ydy+ +2 y2 (6) (7)y"+2y+5=sin2 (8)y"+y"-2y=x(e+4);
(9)(y-3x2)dy (10)y+x=yx2+y 4.求下列微分方程满足所给初始条件的特解 (1)yax+2(x2-xy2y=0,x=1时y=1 (2)y-ay2=0,x=0时y=0,y=1; (3)2y-sin2=0,x=0时y=x,y=1 (4)y+2y+=cosx,x=0时y=0.,y=3
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5.已知某曲线经过点(1,1),它的切线在纵轴上的截距等于切 点的横坐标,求它的方程 6.已知某车间的容积为30×30×6m3,其中的空气含0.12%的 CO2(以容积计算).现以含CO20.04%的新鲜空气输入,问每分钟应 输入多少,才能在30min后使车间空气中CO2的含量不超过 0.06%?(假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均匀后,以相同 的流量排出) 7.设可导函数x)满足x)sx+2osi=x+1,求o 8.设函数v=),r=√2+y2+2在>0内满足拉普拉斯方程 a2u a2u a2u 0 其中f()二阶可导,且f(1)=f(1)=1.试将拉普拉斯方程化为以r为 自变量的常微分方程,并求f()
9.设y(x)、y2(x)是二阶齐次线性方程y"+p(x)+qx)=0的两 个解,令 x)y2( W(x)=(x)y2(x)=H(x)y2(x)-y(x)2(x), 证明 (1)W(x)满足方程W+p(x)W0 (2)/(x)=W(xn)k2J2P0t
