练习10-5 1.按对坐标的曲面积分的定义证明公式 ∫xy)+B(y)hP(xy,)h址Jy)lh 2.当∑为xOy面内的一个闭区域时,曲面积分「R(xy)dy 与二重积分有什么关系? 3.计算下列对坐标的曲面积分: ()212d其中x是球面x2+y+2=R的下半部分的下侧 ()Jd+xdd+yd,其中z是柱面x2+y21被平面20及 z=3所截得的第一卦限内的部分的前侧; ()j(xy2)+xb+2/(y2+yar+/(xy2)+dy,其中 fx,y,z)为连续函数,Σ是平面x-y+z=1在第四卦限部分的上侧; (4)xzdy+ xydydz+ yzdzdx,其中∑是平面x=0,y=0,=0,x+y+2=1 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧 4.把对坐标的曲面积分」Pd+Qh+d化成对面积的曲 面积分: (1)Σ为平面3x+2y+23z=6在第一卦限的部分的上侧; (2)Σ是抛物面z=8-(x2+y2)在xOy面上方的部分的上侧 练习10-6 1.利用高斯公式计算曲面积分 ()x2dh+yb+2dod,其中∑为面x0,y=0,=0,x=a, y=a,z=a所围成的立体的表面的外侧;
练习 10-5 练习 10-6
)手+ybd+2ady,其中2为球面x2+y2+2=2的外侧 ()手x2d+(x2y=2)d+(2y+y2dy,其中为上半球体 0<z≤ 的表面外侧 (4手d+ydk+d其中界于20和2=3之间的圆柱体 x2+y2s9的整个表面的外侧; 65手4xzd-y2dd+ydy,其中为平面x0.y=0.=0,x=l, y=1,z=1所围成的立体的全表面的外侧 2.求下列向量A穿过曲面Σ流向指定侧的通量 (1)=+ xajtxyk,∑为圆柱x+y2≤a2(0zsh)的全表面,流向外侧; (2)4=(2x-z)+x2yx2k,Σ为立方体0xa,0y≤a,0<xa, 的全表面,流向外侧; (3)4=(2x+3)2(x+y)+(y2+2)k,是以点(3,-1,2)为球心, 半径R=3的球面,流向外侧 3.求下列向量A的散度 (1)=(x2+y)i+(2+xj+(x+xy)k; (2)=e i+cos(ry)+cos(xz) ()A=y zi+xy+xzk 4.设u(x,y,z)、v(x,y,z)是两个定义在闭区域Ω2上的具有二阶连续 偏导数的函数,g,C依次表示u(x,y、v(x,y,2)沿X的外法线方向 的方向导数.证明 ∫j △v-v△a) dxdydz=H(a )ds an a 其中Σ是空间闭区间Ω的整个边界曲面,这个公式叫作林第二公式
5.利用高斯公式推证阿基米德原理:浸没在液体中所受液体的压力 的合力(即浮力)的方向铅直向上,大小等于这物体所排开的液体的重力 练习10-7 1.利用斯托克斯公式,计算下列曲线积分 (1)ytx+zdy+xdz,其中r为圆周x2+y2+2=a,x+y+2=0,若从z轴 的正向看去,这圆周取逆时针方向; (2)(y=2)+(2-x)+(x-yk,其中r为椭圆x+12=n2,+B2=1 (a>0,b>0),若从x轴正向看去,这椭圆取逆时针方向; (3)3x-xdy+y2ad,其中r为圆周x2+y2=2,z=2,若从z轴的 正向看去,这圆周是取逆时针方向; (42d+31-2b,其中T为圆周x2+2+2.=0,若从z轴 的正向看去,这圆周是取逆时针方向 2.求下列向量场A的旋度 (1)4=(2z-3y)+(3x-2)j+(-2x)k; (2)A=(siny)i-(z-xcosy)k ()=x"sinyi+y"sin(rz )+xysin(cosz) k 3.利用斯托克斯公式把曲面积分∫rot4ms化为曲线积分,并计 算积分值,其中A、Σ及n分别如下 (1)4=y2i+xy+xzk,∑为上半球面z ,的上侧,n是Σ的 单位法向量 (2)=(y-x)iyz-xzk,∑为立方体0<≤2,0≤y2,0≤z≤2的表面外侧 去掉xOy面上的那个底面,n是∑的单位法向量 4.求下列向量场A沿闭曲线r(从z轴正向看依逆时针方向)的环 流量: (1)4=yi++ckc为常量),r为圆周x2+y2=1,z=0
练习 10-7
(2)=(x-x)2+(2+y)y-3xyk,其中r为圆周z=2-x2+y2,z=0 5.证明rota+b)=rota+rotb 6.设v=au(x,y,z)具有二阶连续偏导数,求 rot(grad 总习题十 1.填空: (第二类曲线积分』P+b+Rh化成第一类曲线积分是 其中a、B、y为有向曲线弧r上点(x,y,2)处的 的方向角 (2)第二类曲面积分Pbdz+Qhd+Rdxd化成第一类曲面 积分是 其中α、B、y为有向曲面Σ上点(x,y,2)处的 的方向角 2.选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论 设曲面∑是上半球面:x2+y2+2=R2(z20),曲面∑1是曲面∑在 第一卦限中的部分,则有 ()xs=4ds;(js=4』os (C)』zs=4xs;(D)zs=4∫zs 3.计算下列曲线积分 ()√x2+y2,其中L为圆周x2+y2=a; (2)「zds,其中r为曲线x=cost, y=tsint,=1(01≤10 (3)(2a-y)x+xdhy,其中L为摆线x=a(-sin,y=a(1-cos)上 对应t从0到2z的一段弧
总习题十
(4(2=2)x+2yzd-xb,其中厂是曲线x=,y=,2上由 听11=0到t2=1的一段弧; (smy-2)k+eosy-2)d,其中L为上半圆周 (x-a)2+y2=a2,y20,沿逆时针方向; (6)xzd,其中r是用平面y=z截球面x2+y2+2=1所得的截 痕,从z轴的正向看去,沿逆时针方向 4.计算下列曲面积分 Pxx+>,其中是界于平面=0及z=H之间的圆柱面 (2)jy2-20hk+(2-xx+(x2-ydb,其中∑为锥面 z=x2+y2(0≤z≤的外侧 ()yk+yd+ddr,其中∑为半球面z=√k2-x2-y2的 上侧; dydz+vdzdx+zdxd 其中∑为曲面 x2+y2+z2)3 1-2=(x-22(-12 516 9(z≥20)的上侧 Jgzd,其中E为球面x2+y+2-1(,y20)的外侧 5.证明x+y在整个xOy平面除去y的负半轴及原点的区 域G内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数 6.设在半平面x>0内有力F=k(x+y构成力场,其中k 为常数,p=√x2+y2.证明在此力场中场力所作的功与所取的路 径无关 7.求均匀曲面z=√a2-x2-y2的质心的坐标
8.设u(x,y)v(x,y)在闭区域D上都具有二阶连续偏导数,分 段光滑的曲线L为D的正向边界曲线.证明 (1[vAudxdy=-( ugrad v)drdy +ds (2)(u△v-w△ddy=,au-v)ds, 其中a、c分别是u、v沿L的外法线向量n的方向导数,符号 Δ=∞+称为二维拉普拉斯算子 9.求向量A=xi+y+zk通过闭区域 92={(x,y,2z)0x≤1,0≤y≤l,0≤z≤1} 的边界曲面流向外侧的通量 10.求力F=y++xk沿有向闭曲线r所作的功,其中T为平面 x+叶+z=1被三个坐标面所截成的三角形的整个边界,从z轴正向 看去,沿顺时针方向
