练习 设A=(-∞,-5)(5,+∞),B=[-10,3),写出AB,A⌒B,AB及 AAB的表达式 2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律:AB)=ACUB 3.设映射f:X→},AcX,BCX.证明 (1)(AB)=f(4)f(B); (2)(AB=(A)f(B)
练习 1-1
4.设映射∫:X→Y,若存在一个映射g:Yx,使gf=lx, fog=ly,其中Ix、l分别是X、Y上的恒等映射,即对于每一 个x∈,有kxx=x;对于每一个v∈Y,有Iy=y.证明:f是双射, 且g是f的逆映射:g=1 5.设映射∫:X→Y,AcX.证明 (1)((A)4 (2)当∫是单射时,有f((A)=A 6.求下列函数的自然定义域 (1)y=√3x+2 (2)y=1
y y (5)y y=sn√ (6)y=tan(x+1) ()y=arcsin(-3) (8)y=√3-x+ arctan (9)y=ln(+1);
7.下列各题中,函数f(x)和g(x)是否相同?为什么? (f(r=lgx, g(x)=2lgx (2)()x,g(x)=√x2 (3)(x)=yx4-x3,g(x)=x3x-1 (4)f(x =1, g(r)=sec"x-ta'x
sinr r 8.设p(x)= 012x,求m(g),4),-),-2) 并作出函数y=ox)的图形 9.试证下列函数在指定区间内的单调性 (1)y= x (2)=x+lnx,(O,+∞) 10.设(x)为定义在(-,D内的奇函数,若f(x)在(0,D内单调增 加,证明f(x)在(-1,0)内也单调增加 11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-,D上的,证明: (1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;
(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数 12.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函 数又非偶函数? (1)=x(1-x2); (2)=3x-x3; (3)y1+x (4)=x(x-1)(x+1); (5)y=sinx-coS x+
a+a x (6)y=2 13.下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数,指出其 周期: (1)=co(x-2); (2)=cos4x; (3)=1+sina; 4)y=rcos x; ()y=winfx
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14.求下列函数的反函数: (1)y=3x+1; (2)y=1+x B)y=ar+b +d (ad-bc≠0); (4)y=sinx (5)y=l+mn(x+2); (6) 2
15.设函数f(x)在数集X上有定义,试证:函数fx)在X上有 界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界 16.在下列各题中,求由所给函数复合而成的函数,并求这 函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值 ()y=u, u=sinx,x x)= (2)y=sin,v=2x,x=5,x2= (3)y=√,u=1+x2,x1=1,x2=2; (4)y=e",ve=x2,x1=0,x (5)n2,v=eF,x1=1,x2=-1
17.设f(x)的定义域D=[0,1,求下列各函数的定义域: (1)f(x2); (2)f(sim); (3)f(x+a)(a>0); (4)f(x+a)+f(x-a)(a>0 1|x<1 18.设f(x)={0x=1,g(x)=,求几g(x)和g)并作 出这两个函数的图形